エネルギー保存則,訂正

質問

下図の位置（点R）にいるときの速さをエネルギー保存則を用いて解きたいのです。
このとき小球の速さは最大である。（θ=Φ/2）
問は電車の天井から、長さ Lの意図で質量 m の小球がつるされている。
　　　静止していた電車が水平方向右向きに加速度αで等加速度運動を始めると、
　　　小球は糸が鉛直と角θをなす間で振動した。

初期位置を基準としてエネルギー保存則を用いると
　　　　0 　　　　= mg*L(1-cosθ) + m*v^2/2
（初期位置）　　　　　　　（点R）
となり、明らかにおかしいのがわかりますが、どこがおかしいのでしょうか。
初期位置（基準）よりも点Rの方が高いので重力による位置エネルギーは持つはずです。

回答No.1

kagakusuki · ベストアンサー

今仮に、初期位置を点A、角度Φにおける小球の位置を点Bとします。

>初期位置を基準としてエネルギー保存則を用いると
>　　　　0 　　　　= mg*L(1-cosθ) + m*v^2/2
>（初期位置）　　　　　　　（点R）
>となり、明らかにおかしいのがわかりますが、どこがおかしいのでしょうか。

　それは、

>初期位置（基準）よりも点Rの方が高いので

という考えが間違っているのです。
　電車は加速度運動をしているのですから、振り子の小球に加わる力は重力だけではなく、電車が加速する事によって生じる慣性力も加わりますから、振り子に加わる力は「『重力加速度ベクトルg』と『電車（の加速度の反作用によって生じた慣性）の加速度α』を合成した加速度ベクトル」に「小球の質量m」を掛け合わせた「力のベクトル」となります。
　電車が加速する事によって、御質問欄の添付画像の左水平方向にmαの慣性力が加わるのですから、重力による力mgと組み合わせますと、左下方向の斜めの向きに合成された加速度が加わる事になります。
　つまり、電車の加速中は、地球の中心がある方向が下になるのではなく、地球の中心がある方向よりも少し「電車の後方側」にずれた方向が、位置エネルギー的には下となる訳です。
　空気抵抗や糸が変形する際に生じる損失を無視する事が出来る場合には、振り子の折り返し地点における重りの高さは左右で等しいのですから、位置エネルギー的な意味で小球の位置が最も低くなるのは、左右の折り返し地点である点Aと点Bの丁度真ん中である「鉛直方向から角度θだけずれた位置である点R」になります。

　また、加わる合成された加速度の大きさは、重力加速度ベクトルgを縦方向の一辺、慣性加速度αを横方向の一辺とした、平行四辺形（この場合は長方形）の対角線となります。
　そして、その長方形における縦方向の辺と対角線が成す角度がθなのですから、

cosθ=「重力加速度の大きさg」/「合成された加速度の大きさ」

という関係になります。
　従って、

「合成された加速度の大きさ」=g/cosθ

という関係となります。
　又、電車の加速によって生じた慣性加速度αとの関係は

「合成された加速度の大きさ」=√(α^2+g^2)

という関係にあります。

　又、振り子の糸の長さがL、小球の高さの最高点は、点Aと点Bの2点で、最低点は点Rなのですから、小球の落差は

落差=L×(1-cosθ)

となります。
　ですから、最高点である点Rや初期位置における位置エネルギーは

「位置エネルギー」=m×(g/cosθ)×(L×(1-cosθ))=m×(√(α^2+g^2))×(L×(1-cosθ))

になります。
　最高点における位置エネルギーの大きさが判れば、後は普通の振り子と同様に、力学的エネルギー保存の法則を使って、最大速度を求める事が出来ます。

お礼

非常に詳しい解説、感謝します。

＞地球の中心がある方向よりも少し「電車の後方側」にずれた方向が、位置エネルギー的には下となる
これが知りたかったのです、問題集ではこのことに触れずに（単に私の見落としかもしれませんが；）
サラッと見かけの重力を用いていたので、なにか納得がいかなかったのです。

なぜいつも通りのアプローチがダメで急に見かけの重力なるものを導入しようとしたのかという根拠が
今はっきりと理解することができました。

回答ありがとうございました!!

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