Gauss関数に関する質問です。

質問

Gauss関数に関する質問です。

Gauss関数の２次微分（LoG)と、Gauss関数の畳み込みは、LoGになると聞きましたが、
その説明、証明、関連サイトなど、紹介お願いできませんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

Gauss関数というのは、次のように表される g(x) を言うのでしょうか。

　　g(x) = cf(ax+b)　　ただしc>0、 a≠0、f(x) = e^(-x^2)

もし、そうなら、以下のようになります。

（１）　g(x) = f(x) のとき（a = c = 1, b = 0 のとき）

f''(x) = (-2+4x^2)e^(-x^2) だから、畳み込みを * で表すとして、次のようになる。以下、積分記号は、すべて、-∞から∞までの定積分を表すものとする。

　　f*f''(x) = ∫f(x-t)f''(t)dt
　　　　= ∫e^(-(x-t)^2)(-2+4t^2)e^(-t^2)dt
　　　　= (π/2)^(1/2)(-1+x^2)e^(-x^2/2)

そこで、φ(x) = (π/2)^(1/2)e^(-x^2/2) と置けば、φ(x) はGauss関数であって、

　　f*f''(x) = φ''(x)

となる。

（２）　一般の g(x) のとき

g''(x) = a^2cf''(ax+b) だから、次のようになる。

　　g*g''(x) = ∫g(x-t)g''(t)dt
　　　　= ∫cf(a(x-t)+b)a^2cf''(at+b) dt
　　　　= ac^2∫f(ax+2b-u)f''(u)du　　（u = at+b）
　　　　= ac^2f*f''(ax+2b)
　　　　= ac^2φ''(ax+2b)　　（（１）より）

よって、γ(x) = a^(-1)c^2φ(ax+2b) と置けば、γ(x) は Gauss関数であって、

　　g*g''(x) = γ''(x)

となる。