どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a^2=b^2なのでしょうか？

質問

なぜa>0, b>0のときだけa=b⇔a^2=b^2が成り立つのでしょうか？
それと、「a,bが実数のとき、a=b⇔a^2=b^2」や「a<0, b<0のときa=b⇔a^2=b^2」が成り立たないわけも教えてください。どう考えればいいのか分かりません。お願いします。

回答No.4

0-z-0 · ベストアンサー

まず、a=b→a^2=^は成り立ちますよね？
問題はa^2=b^2→a=bのときです。
例えばa<0,b>0の場合を考えると、a^2=b^2をaについて解くと、
a=±bになりますが、a<0、b>0なので、a=-bになります。
a=bだと、aは負で、bは正になってしまいますから、
この式は成り立たなくなってしまいますよね？
だからこの場合はa=-bとなってしまいます。
このように考えればいいと思います。
以上のように考えると、
a<0,b<0のときはa=b⇔a^2=b^2は成り立ちます。
要するに、a,bが同符号ならa=b⇔a^2=b^2は成り立ちます。

お礼

こんにちは！初めまして。

＞問題はa^2=b^2→a=bのときです。
例えばa<0,b>0の場合を考えると、a^2=b^2をaについて解くと、
a=±bになりますが、a<0、b>0なので、a=-bになります。
a=bだと、aは負で、bは正になってしまいますから、
この式は成り立たなくなってしまいますよね？
だからこの場合はa=-bとなってしまいます。
要するに、a,bが同符号ならa=b⇔a^2=b^2は成り立ちます。

なるほど、a^2=b^2→a=bのときには正負が出てくるのでどちらかに限定するためにa≧0, b≧0/a≦0, b≦0 などの条件が必要なのですね。「a,bが同符号ならa=b⇔a^2=b^2は成り立ちます。」という言葉はわかりやすかったです。ありがとうございました！

回答No.3

mdkonnpo

a>0,b>0ならａ＝ｂ⇔a^2=b^2の⇔は必用十分条件ってゆうのはわかりますよね？？
この⇔は右辺から考えても左辺から考えても成り立つとゆういみです。
具体的に数字を入れてみたらわかりやすいと思います。

ａ＝ｂ＝2としてみます（ａ＞０、ｂ＞０）
すると2＾2＝2＾2となり結果は4＝4で成り立ちますよね。
これは逆に考えても成り立ちます。

それに対して「ａ，ｂが実数」について考えると実数とはマイナスの範囲も入るのです。
ａ＝ｂ⇒a^2,b^2は成り立ちますがはa^2,b^2⇒a=bは成り立ちません
なぜなら仮にaに－2、bに2を代入します。
そうすると－2の二乗は4、2の二乗は4となり、左辺は成り立ちますが実際には－2＝2とはなりません、だから実数の範囲ではこれはなりたちません。

ａ＜０，ｂ＜０については成り立つような気がするのですが、、、
未熟ですいません。

お礼

こんにちは！お返事どうも。

＞a>0,b>0ならａ＝ｂ⇔a^2=b^2の⇔は必用十分条件ってゆうのはわかりますよね？？
この⇔は右辺から考えても左辺から考えても成り立つとゆういみです。

はい！大丈夫です。

＞なぜなら仮にaに－2、bに2を代入します。
そうすると－2の二乗は4、2の二乗は4となり、左辺は成り立ちますが実際には－2＝2とはなりません、だから実数の範囲ではこれはなりたちません。

そうですね！実際にやってみるとわかりやすいですね！
具体的な数字を思い浮かべてみます。

＞ａ＜０，ｂ＜０については成り立つような気がするのですが、、、
未熟ですいません。

他の方々もそう仰っていました。すみませんm(__)m
私が間違えていました。修正できて良かったです。私も両方正で成り立つなら
両方負でも成り立つはずだと、なんとなく思っていたのですが、誤ったまま覚えてました。

ありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

＞なぜa>0, b>0のときだけa=b⇔a^2=b^2が成り立つのでしょうか？

これは 『a≧0, b≧0のとき a=b⇔a^2=b^2 』としておいた方が良いです.
また, 『a≦0, b≦0のとき a=b⇔a^2=b^2 』なども正しいので, 「a>0, b>0のときだけ」というわけではありません.

お礼

お返事ありがとうございます。

＞これは 『a≧0, b≧0のとき a=b⇔a^2=b^2 』としておいた方が良いです.
また, 『a≦0, b≦0のとき a=b⇔a^2=b^2 』なども正しいので, 「a>0, b>0のときだけ」というわけではありません.

なるほど、０も含めて考えた方がいいのですね。それと、両方負のときも成り立つんですね。先生がa>0, b>0のときa=b⇔a^2=b^2しか話さなかったから誤解してました。ありがとうございました。

回答No.1

Mell-Lily

a>0,b>0のとき、a=b⇔a^2=b^2
　a<0,b<0のとき、a=b⇔a^2=b^2
は、どちらも正しいです。
　a=b⇒a^2=b^2
は、常に成り立ちます。また、
　a^2=b^2
　⇔a^2-b^2=0
　⇔(a+b)(a-b)=0
　⇔a+b=0,a-b=0
　⇔a=-b,a=b
です。例えば、
　2^2=(-2)^2
ですが、
　2=-2
ではありませんね。

お礼

こんにちは。お返事ありがとうございます。

＞a>0,b>0のとき、a=b⇔a^2=b^2
　a<0,b<0のとき、a=b⇔a^2=b^2
は、どちらも正しいです。

そうですか。誤解して覚えてしまっていたようです。アブナイアブナイ（＾＾）

とてもわかりやすかったです。本当にこの手の話は苦手だったのですが、苦手意識もなくなって良かったです。普通に考えれば良いんですね！ありがとうございました。