a,b,c,dを正の実数とする。2次方程式x^2-(a+b)x+ab-

質問

a,b,c,dを正の実数とする。2次方程式x^2-(a+b)x+ab-cd=0について
（１）異なる2つの実数解をもつことを示せ
（２）2つの解のうち少なくとも1つは必ず正の数であることを示せ
（３）2つの解をα，βをし0＜α＜βをするときa,a+b,α,βの大小関係を示せ

という問題で、問題自体は難なく解けたのですが、x^2-(a+b)x+ab-cd=0という式が、行列で出てくる固有方程式と同じことに気付きました。この問題は、何か行列に関連付けることができるのでしょうか。別解、おまけ等、関連することならどんなことでも構いませんので教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#118674 · ベストアンサー

君なかなかいい考えに気付いたな。

2×2行列のどの成分も正となる行列をA、単位行列をEとすれば
　　　　　　　　　　　　　　　A=xE　となる実数xが必ず異なる2つの値が存在し、
しかも少なくとも1つは正の数となる。
という理論が導かれる。
つまりどの成分も正で2×2型行列を任意に与えても必ず異なる2つの固有値が存在してしかも
その固有値の少なくとも一つは正である。

補足

回答ありがとうございます。
今、問題を読み返して、１次の項が(a+d)のトレースではなく、(a+b)であることに気付きました;;
この場合でも成り立ちますでしょうか？

回答No.2

noname#118674

>>１次の項が(a+d)のトレースではなく、(a+b)であることに気付きました;;
この場合でも成り立ちますでしょうか？

bとdそのまま入れ替えているだけじゃん。だからOK