複素関数

質問

問題がとけなくて困っています。

ｗ＝ｚ＋１＋ｉによって、ｚ平面上の次の図形はｗ平面上のどのような図形に写されるか。
(1)｜ｚ＋i｜≦1
(2)Im((1＋i)z)≦0

このような問題なのですが、どなたか宜しくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>このような問題なのですが、どなたか宜しくお願いします。
解答（分かる範囲で結構、間違っていても結構）を示さない質問はネチケット違反の禁止事項に抵触して削除対象になる恐れがあります。質問の仕方に注意しましょう。

ヒント）
w=u+iv,z=x+iyとおきます。
(1)
(u-1)^2+v^2≦1
これは中心(1,0),半径1の円の内部です。
複素平面表記では
|w-1|≦1
中心(1,0),半径1の円の内部です。

(2)
u+v≦2
これは直線 v=2-u を含む下部領域です。

お礼

ありがとうございました。
とても参考になりました。
次回は質問の仕方に注意します。すいませんでした。

回答No.3

noname#35856

（2）の下二行を訂正します。
w-(1+i)=r・exp(iθ)、ただし、3π/4≦θ≦7π/4
∴ 3π/4≦arg{w-(1+i)}≦7π/4

お礼

ありがとうございます。
よく分かりました。

回答No.2

noname#35856

ネチケット違反で消されるかもしれないけれど、答えましょう。
(1) |z+i|≦1 から、0≦r≦1 として
z+i=r・exp(iθ) と表わせる。

従って、
w=z+1+i={r・exp(iθ)-i}+1+i
　=r・exp(iθ)+1
これから、
w-1=r・exp(iθ)
ただし、0≦r≦1 である。
∴ |w-1|≦1

(2) Im{(1+i)z}≦0 からは、0≦r として
z=r・exp(iθ) とすると
(1+i)z=(√2)exp(i・π/4)・r・exp(iθ)
　　　=(√2)r・exp{i・(θ+π/4)} であるから
(√2)r・sin(θ+π/4)≦0 となる。
これから、π≦θ+π/4≦2π

従って、
w=z+(1+i)=r・exp(iθ)+(√2)・exp(i・π/4)
w-(1+i)=r・exp(iθ)、ただし、3π/4≦θ≦7π/8
∴ 3π/4≦arg{w-(1+i)}≦7π/8