確率の問題

質問

ある課題があり、それに向けて次の様な確立を計算する必要が発生しました。
どのように解けば良いかアドバイス頂けませんでしょうか?

30cmの定規が100個あり、3000cmの幅箱（縦幅は定規と同じ）に同時に入れた時、100個の定規が50%以上重なる確率は何%か?
但し、定規は1cm単位で動くものとする。

以上宜しくお願いいたします。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＞50%以上重なるの意味は、100個の定規が全て50%以上重なるという意味です。

ということであれば、概算ですが、

１つの定規が他の１つの定規と50％以上重なる確率p1は、p1=31/2971=0.015728
１つの定規が他の９９個の定規のどれかと50％以上重なる確率p2は、p2=1-(1-p1)^99=0.79184
すべての定規が他の定規のどれかと50％以上重なる確率p3は、p3=p2^100=7.308×10^(-11)=0.00000000007308

ということで確率はほとんど０％に近いといっていいでしょう。

実際は、定規が端に置かれたか中央に置かれたによってp1の確率は変わってくるし、
１つの定規が他の２つの定規で50％以上重なる場合も考慮すると確率p2の計算式も違ってくるし、
それぞれの定規が50％以上重なるという事象は独立ではないので、確率p3の計算式も正確には違います。

まあそれでも、ほとんど０％ということには変わりないでしょう。

試しにパソコンでのシミュレーションで100万回実行してみたところ、「100個全て50%以上重なる」ということは１回もありませんでした。

お礼

どう概算計算すれば良いか好く分かり非常に助かりました。
イメージではゼロに近い事は想定していましたが、明確にする事が出来ました。
また、シミュレーションまでして確かめて頂いた事にもお礼申しあげます。

この考え方を新たな課題の確率計算の基礎とさせて頂きます。
ありがとうございました。

回答No.5

yyssaa

補足された「全ての定規が15cm以上重なるという意味になります」は、
以下の（１）～（３）に分けて説明するとどうなりますか？

（１）100個の定規からどの2個を選んでも、その2個が15cm以上
重なっている（一塊の状態）
（２）100個の定規のうちのどの1個も少なくとも他の1個と15cm以上
重なっている（一塊の状態）
（３）100個の定規のうちのどの1個も少なくとも他の1個と15cm以上
重なっている（複数の塊に分かれている状態、この状態には、極端な
例として2個が15cm以上重なった塊が５０塊散在している状態を含みます）

回答No.4

nag0720

＃３の訂正
計算ミスです。

１つの定規が他の１つの定規と50％以上重なる確率p1は、p1=31/2971=0.010434
１つの定規が他の９９個の定規のどれかと50％以上重なる確率p2は、p2=1-(1-p1)^99=0.64598」
すべての定規が他の定規のどれかと50％以上重なる確率p3は、２つ１組で重なっていると考えれば、
p3=p2^50=3.244×10^(-10)=0.0000000003244

それでも、ほとんど０％に近いということは同じですが。

回答No.2

yyssaa

定規は1cm単位で動くので、3000cmの幅箱の中で30cmの定規
の左端(中央でも右端でもよい)が位置し得る点は1cm刻みで
(3000-30+1=)2971あり、1本の定規がこれらの2971のうちの
特定の点に位置する確率を1/2971とすると、1本の定規が
3000cmの幅箱の中の長さxcmの場所に位置する確率は
(x+1)/2971になります。従って100本のうちのn本が長さxcm
の場所に位置する確率は
＝(100Cn)*[{(x+1)/2971}^n]*[1-{(x+1)/2971}]^(100-n)
となります。
この後は、「100個の定規が50%以上重なる」の意味を明確に
すれば、計算出来るでしょう。

補足

回答ありがとうございます。

問題の定義が不明確ですみません。50%以上重なるの意味は、100個の定規が全て50%以上重なるという意味です。つまり、全ての定規が15cm以上重なるという意味になります。

この条件ですと少し考え方を変える必要があるかと思いますが、どのように考えれば良いか再度ご教授頂けますと幸いです。

以上宜しくお願いいたします。

回答No.1

nag0720

基本的なことの確認ですが、
例えば3個を同じ位置において、残りの97個は重ならないように置いたとしたら、
何％重なっているとみなすのでしょうか？
30/3000×100=1％　（箱の横幅3000cmのうち、30cmだけ重なっている）
60/3000×100=2％　（定規の全長3000cmのうち、2個分60cmだけ重なっている）
90/3000×100=3％　（定規の全長3000cmのうち、3個分90cmだけ重なっている）
どれが正しい？

どちらにしても、計算で求めるのはかなりやっかいでしょうから、
とりあえず、プログラムを組んでシミュレーションしてみたらいかがですか。

補足

回答ありがとうございます。

問題の定義が不明確ですみません。50%以上重なるの意味は、100個の定規が全て50%以上重なるという意味です。つまり、全ての定規が15cm以上重なるという意味になります。

以上宜しくお願い致します。