確率の問題

質問

以下の確率の問題を上手く解く方法があれば教えてください。(答は下にあります)
AとBの2つの箱があって、Aには白球5個と赤球4個が入っており、Bは空である。いま、Aから球を1個取り出してBに入れるという操作を、Aが空になるまで続けるものとする。このとき、次の各問いに答えよ。
（１）AからBに4個の球をうつしたところで、Bの中にちょうど白球3個、赤球1個が入っている確率を求めよ。
（２）Bの中では、白球の個数がつねに赤球の個数以上である確率を求めよ。
(1)・・・20/63、(2)・・・1/3

回答No.2

staratras

下の図のようなグラフを描くと、数え落としや重複のリスクが低下します。
左下の原点（0,0)がスタートで、1回球を取り出すごとに白球であればx軸の正の方向に1、赤球であればｙ軸の正の方向に1だけ進みます。最終的には白と赤が5球と4球出ますので（5,4）に到達して終了します。

１）の「白球3、赤球1となる状態」は大きな赤い丸を付けたところです。原点からの経路が4通りあり、No.1で示した4通りに対応します。

２）の「赤球の数が白球を上回る場合」は、紫の★を付けた場所に到達した場合で、その前にはすぐ下の赤白同数のところにいたことになります。

補足

ご丁寧にありがとうございます。(2)は4!×10P4/(9・8・7・6・5・4・3・2)として求めても問題ありませんか？

回答No.1

staratras

１）4回目が終わった時点で、白が3球、赤が1球であるのは、順番に白白白赤、白白赤白、白赤白白、赤白白白の4つの場合が考えられます。
このうち、白白白赤になる確率は、5/9×4/8×3/7×4/6=5/63 ですが、このほかの場合も同じ確率になることがわかります。

なぜならば、一個ずつ取り出すので、確率の計算は4つの分数の積になり、この分母は常に、9,8,7,6と減少する整数列です。分子は白を3個取り出す際には順に5,4,3となり、赤を取り出す際には4です。つまり、分子は5,3が1回、4が2回常に登場します。掛け算の積は掛ける順番とは関係がないので確率は常に、(5×4×4×3）/（9×8×7×6）=5/63です。

したがって求める確率は　5/63×4=20/63 です。

２)取り出した白球の数が常に赤球の数以上である（ということは同数でも可なの）で、逆に赤球の数が白球を上回る場合を考えます。

まず第1回目に上回るのは赤球を取り出した場合で確率は4/9です。
2回目に上回ることはあり得ません。
3回目に上回るのは白赤赤の場合だけで確率は5/9×4/8×3/7=5/42です。
4回目に上回ることはあり得ません。
5回目に上回るのは白赤白赤赤の場合（確率は5/9×4/8×4/7×3/6×2/5=2/63）と白白赤赤赤の場合（確率は（１）と同様に考えると同じく2/63）なので、
合計4/63
以下同様に偶数回、および9回目に上回ることはありません。
7回目に上回るのは白赤白赤白赤赤の場合と白赤白白赤赤赤の場合と白白赤白赤赤赤の場合と白白赤赤白赤赤の場合と白白白赤赤赤赤の場合の5通りです。確率は最初が5/9×4/8×4/7×3/6×3/5×2/4×1/3=1/126で、これ以外も同じだから、合計5/126

この合計は、4/9+5/42+4/63+5/126=84/126=2/3
したがって求める確率はこの余事象の確率で、1-2/3=1/3

補足

ご丁寧にありがとうございます。(2)は4!×10P4/(9・8・7・6・5・4・3・2)として求めても問題ありませんか？