集合論についての質問です

質問

集合論には大きく分けて素朴集合論と公理的集合論があることを知りました。
今大学生なのですが、工学部なのでそこまで詳しい解説は４年生になっても多分しません。
なので、数理学科が学ぶようなとても厳密なお話にはついていけないと思いますので、簡単に教えていただければと思います。

公理的集合論での「公理」とは、「これこれこういう集まりじゃなきゃいけませんよ」というような、集合とはどのようなものかを定義するものということでいいのでしょうか？
いいかえるならば、素朴集合論において、パラドックスが発生したときに用いていた集合を排除するための規則ということでいいのでしょうか？
公理的集合論とは、素朴集合論においてパラドックスが発生してしまうような集合をとりのぞくいろいろな規則を導入して、パラドックスが発生しないようにした集合論ということですね。

また、高校や大学で集合を扱う時は、集合の定義で「ある条件に当てはまるか当てはまらないかが明確に決まるものの集まりとする」として、たとえば、「背の大きなクラスメートの集まりは集合とはしない」と説明されましたが、この時の背の大きなクラスメートの集まりが集合としないのは公理的集合論の理論を用いているのでしょうか？
それともそれ以前の大前提のことをただ単に明示しているだけで、素朴、公理的、を語る以前のことという捉え方でいいのでしょうか？

全体的に分かりにくい文章で申し訳ありません。
よろしければ回答お願いいたします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

＞ 厳密なお話にはついていけないと思いますので、簡単に

を前提とすると、皆さんが答えておられるように、
要するに「ま、そんなとこ。そこそこ貴方の言うとおり」
程度の回答しかできないのではないかと思います。
公理的集合論は、ラッセルのパラドクスをはじめとして
数多の矛盾を含む、素朴集合論の「ものの集まり」という
曖昧な概念を、「厳密なお話」に持ち込むための技巧
に他ならないからです。

＞ 工学部なのでそこまで詳しい解説は

不要であれば、世の中には公理的集合論というモノがあること。
そこでは「何が集合か」が厳しく制限されており、
「ものの集まり」を全て集合と呼ぶ訳ではないこと。それにより、
２０世紀半ばに噴出したある一群の矛盾が避けられること。
…程度を知っていれば十分でしょう。
更に詳しく知りたければ、厳密なお話に参加するとよいです。

内容の理解はともかく、ZF なり GB なりの具体的な公理系を
「ふーん、こんなんか」程度に一度眺めておくと、イメージが
掴みやすいと思います。参考↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
(眺めるだけすよ)

「ある条件に当てはまるか当てはまらないかが明確に決まるもの
の集まりとする」は、いわば 素朴集合論の公理 のようなもの
ですが、「当てはまるか当てはまらないかが明確に決まる」という
記述の意味するものが明確に決まっていないので、これを
そのまま公理的集合論の公理のひとつにすることはできません。

＞ それともそれ以前の大前提のことをただ単に明示しているだけ

です。仰るとおりです。
例えば、「その集合自身を自分の要素に持たないような集合」は、
「当てはまるか当てはまらないかが明確に決まる」でしょうか？
そのような集合全体の集合を考えることができるでしょうか？
公理的集合論への要請は、そこから始まったのです。

お礼

そうだったのですか！
的外れでなくて良かったです。
ある条件に当てはまるか当てはまら中が明確に決まるものの集まりを集合とする、というのが、素朴集合論の公理のようなものというたとえがすごくわかりやすかったです。
回答ありがとうございました。

回答No.3

ta20000005

素朴集合論も公理的集合論の代表であるZFC集合論も、根本思想は命題φ(x)について{x|φ(x)}を集合という対象とする理論です。したがって、φが命題にならなければ集合になりません。命題は真偽が確定する文ということで、後半がまずいのは前の方々のおっしゃる通りということになります。
公理的集合論は素朴集合論のままでは生じる矛盾のうちわかっているものが集合とならないように公理を定めたものということで、だいたいshure-neko様のお考え通りと思ってくださって構いません。外延性の公理以外は公理を満たす集合の存在保証や、結果として集合になるような制限をしています。集合の生成規則を並べていると言ってもいいかもしれません。
ちなみに新たな矛盾は生じないかということになりますが、ZFC集合論はゲーデルの不完全性定理により矛盾が無いことが事実上証明不可能なので、矛盾がないことは信じるしかないことになります(実際ZFC集合論の矛盾を見つけたと主張している人はいます。支持されてはいないようですが)。万が一ZFC集合論に矛盾が見つかったら、それを破棄して新たに公理を組み直した集合論が創られることになるのでしょうね。

お礼

私の認識が的外れでなくてよかったです。
不完全性定理は何となくは覚えているんですが、結構昔に勉強したので、また勉強してみます。
回答ありがとうございました。

回答No.2

faradayday

僕も数学が専門ではないのであくまで参考までに読んでください…。

まず、「また」以下の質問に関しては、No.1の回答者のおっしゃる通り公理的集合論を構築するためのものではないでしょう。

そして一つ目の質問ですが、あなたの言っていることでおそらくあっていると思います。
どの程度集合論を勉強されたのか分からないので、どこまで詳しく説明すべきか悩みますが…。
研究対象とする集合にほとんど制限のない素朴集合論ではラッセルのパラドクスやカントールのパラドクスなどといった矛盾が生じてしまいます。
現在はZF公理系とよばれるいくつかの公理を採用することで、これらのパラドクスを回避しています。

さらにZF公理系に選択公理(ツォルンの補題、整列定理と同値)を加えたものがZFC公理系です。
選択公理の要請からは新たにバナッハ＝タルスキーのパラドクスというものが出てきてしまいますが、選択公理を採用することで同時に数学的に稔りある議論を展開することができます。
選択公理を採用するかどうかについては数学者の間でも意見の分かれるところだそうですが、それ以上あまり詳しいことは知りません。

お礼

大前提ということですね。
回答ありがとうございました。
選択公理についても勉強してみます。

回答No.1

Tacosan

わたしも公理的集合論はわからんので「また」のところだけですが, これは「それ以前の大前提のこと」です. 「背の大きなクラスメート」かどうかを, 機械的に判定できないよね.

お礼

大前提ですか。
ありがとうございました。