直積と関数について

質問

選択公理の解説などにおいて直積の定義がありますが、
ΠSλ(λ∈Λ)={f|f:Λ→∪Sλ fλ∈Sλ}
とするのが多いと思います。(つまりΛから∪Sλへの関数の内、ある条件を満たすもの全体)
しかし、私は関数というのは二項関係などと同じように直積の部分集合として定義されるものと考えていました。(上の例では、fはΛ×∪Sλの部分集合)
そのため、関数と直積をどちらから定義すればよいのか混乱しています。
おそらく、原因は私が、純集合論的な立場から直積、関数も一つの集合として定義しようとしているにもかかわらず、集合の記法を厳密に決めていないため(一階述語論理の言語と＝、∈以外のものを勝手に使用している)だと感じるのですが、この理解自体どこかおかしなところがあるでしょうか？
また、見通しのよい考え方、捉え方等教えていただければ幸いです。この方面に詳しい方々、時間に余裕があればお答えください、よろしくお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

つまりですね、

＊集合aとbが与えられた時、aの元xとbの元yとの順序対<x,y>全体をa×bと書きますが、これはaとbとの「直積その1」であって、

＊「直積その1」が定義されると集合aから集合bへの「写像」が定義出来ますが、

＊集合族 g: Λ→ Jが与えられた時（集合族ってつまり「写像」です。つまり、この段階で既に写像の定義が必要）、
ΠJ = { f | fは Λから∪Jへの写像で 任意のλ∈Λ に対し、f(λ) ∈ g(λ)となるもの}

というのは、Jの「直積その2」なのです。要は、直積、という言葉で「異なる」2つの概念の定義があるのです。

で、問題はここからですが、2つの集合a, bが与えられた時に戻って、
＊aとbとの「直積その1」 a×bはさっき書いた通り

＊一方、aとbとの「直積その2」というのは、定義するのに少し準備がいる。
つまり、ある2元集合 Λ = {0,1}からaとbの2元からなる集合 J = {a, b}への恒等写像 g: Λ → J でg(0) = a, g(1) = bなるものを考えたとき、Λ = {0,1}から∪J = a∪bへの写像f で、f(0) ∈aかつf(1) ∈ bなるようなf全体からなる集合がaとbとの「直積その2」です。

で、aとbとの「直積その1」と、aとbとの「直積その2」とは、明らかに一対一対応がありますが、『集合としては別物』なのはいいですか？で、通常はこのaとbとの「直積その1」と、aとbとの「直積その2」を同一視するのですが、繰り返しになりますが、あくまで集合としては別物。

で、結局、最初に「直積その1」の定義があって、次に「写像」の定義があって、それから「直積その2」の定義がある。有限個の集合の直積の場合は、「直積その1」と「直積その2」とでは自然な一対一対応があって、通常同一視しますが、あくまで別物です。

お礼

なるほど。段階的に直積の定義を確定させていくのですね。
参考になりました、回答本当にありがとうございました。

回答No.3

tmpname

もう一個訂正:

> 集合族 g: Λ→ Jが与えられた時、ΠJ =... というのは、Jの「直積その2」

というのは、正しくは Πg =... というのは、gの「直積その2」
です（gが集合族ですし、どう対応付けしているかも考えないといけないので）

回答No.2

tmpname

訂正：

> J = {a, b}への恒等写像 g: Λ → J でg(0) = a, g(1) = bなるものを考えたとき、
と書いたところの「恒等」の文字は余計です。