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ピタゴラスの定理とは？
- ピタゴラスの定理は、ユークリッド幾何学において使われる基本的な仮定の一つであり、三角形の辺の長さと角度に関連する関係を表す定理です。
- しかし、ピタゴラスの定理は非ユークリッド幾何学という反例が存在するため、普遍的な真理ではなく、あくまでユークリッド幾何学を前提とした仮定として扱うべきです。
- 一般的なピタゴラスの定理の証明は、ユークリッド幾何学の基礎となる公理や概念を仮定しているため、その前提が崩れれば証明が成立しない可能性があります。
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>これは本当ですか? >そのことを今のところ理解できないのですが。 >{ZFC集合論}を基に、{ユークリッド幾何学}は構築されていると思います。 うーん。その発生年代からして明らかだと思うのですが。。。 ZFC集合論が確立されたのは歴史的にはごく最近のことですよね。 それまでの数学者は ZFC 集合論をベースとした論理体系ではなく、当然ユークリッド幾何の論理体系で論を進めていたはずです。 その過程で例えば、ピタゴラスの定理が成立して、直線に「長さ」という計量が常に存在するならば、直角二等辺三角形の斜辺の長さ(√2)のような分数では表わせない「数」の存在を認めざるを得ず論争になったりしたわけです。 近代になって、素朴集合論から発生するパラドクスから逃れるために、公理的集合論が提案されました。発生段階でユークリッド幾何学の「定義」→「公理」→「定理」といった思想的な影響は受けましたが、直接的には無関係です。 公理的集合論が「妥当」であることの証左のひとつとして、それまで「自然言語」で表現されていたユークリッド幾何学を、公理的集合論の言語で表現することが可能(つまりデカルト座標系によってモデル化可能)であることが示されて、これが一般化しました。 公理的集合論は道具立ても揃っているし、デカルト座標は便利であるため、通常はユークリッド幾何学をその一つのモデル(前述の E = (R^2, ...))と同一視しているのです。 >そして、「第五公準(平行線は唯一唯一つ)」というのと、 >「ピタゴラスの定理」というのは同値になりそうというのも了解いただけますか? >つまり、一方を公理とすれば、他方は定理となる。 ちょっとだけ考えましたが、私の感覚から言うと、同値になりそうもないというのが感想です。 しかし第四公準＋ピタゴラスの定理 を満足して、平行線が複数存在するようなモデルをすぐには思い付きません。 ZFC 集合論は非常に「緩く」できているのでユークリッド幾何学の四公準＋ピタゴラスの定理くらいの前提では、とっぴょうしもないモデルが存在しても不思議ではないなぁ。というくらいで勘弁して欲しい。
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- koko_u_
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>どれを採用してもいいのですが、現代数学では全部を採用していると思います。 >つまり、リーマン計量とか曲率とかいうのを考えて、どれも平等に扱っていると思います。 そうではありません。 公理系を下にした論理体系とその「モデル」との区別を明確にすることが今回の質問では重要です。 {ユークリッド幾何学}、{ロバチェフスキー幾何学}、{ZFC集合論}、などなど、論理体系(つまり公理群とそこで許される推論のペア)としては互いに無関係です。 これはユークリッド幾何学で「点」や「直線」が無定義で出現し、ZFC集合論では「集合」が無定義で出現することから明らかです。(どちらかが、どちらかを定義しているわけではありません) ここにモデルという概念を導入することで、両者を関連づけることができます。 つまり、{ZFC集合論}の集合 R^2 をもって、特定のモデル E = (R^2, 計量やら何やら) を考え、これと {ユークリッド幾何学}の「点」や「直線」の概念とを対応づけることで {ZFC集合論} の中に {ユークリッド幾何学} を構成できるのです。 同様に {ZFC集合論} の別の集合をもってくれば {ロバチェフスキー幾何学} の公理系を満足するモデルが構成できます。 モデル理論の基本的な性質から、{ZFC集合論} において E = (R^2, ...) で {ユークリッド幾何学}的に許された推論のみを用いて演繹された結論は特定のモデル E 以外でも常に成立し、これが即ち「ユークリッド幾何学での定理」となります。 その意味でピタゴラスの定理は「ユークリッド幾何学での定理」となっているはずです。(これまた検証してないけど) 当然、モデル R^2 に依存した極限操作のような推論を用いて得られた結論例えば「有界な無限点列には集積点が存在する」といった命題は 「ZFC集合論での定理」でありながら、「ユークリッド幾何学の定理」ではありません。(またまた、この例も検証してないよん) 現代数学の主流はモデル E に依存した演繹も全てふくめて、ひとまとめに「定理」と呼んでいるため、fjfsgh さんは混乱しているのでしょう。 >ヒルベルトはユークリッド原論をより厳密にしようと、幾何学原論を書いたそうですが、 >現代数学（大学で習う数学）では、「読まなくてもいい存在」のように感じます。 ヒルベルトが幾何学原論を書いた動機は、きっと上記の「ユークリッド幾何学の定理」と「モデル E 上で成立する定理」との違いを明確にする必要性を感じたからではないでしょうか？(勝手な想像です。Hilbert先生スマン)
補足
＞{ユークリッド幾何学}、{ロバチェフスキー幾何学}、{ZFC集合論}、 ＞などなど、論理体系(つまり公理群とそこで許される推論のペア)とし ＞ては互いに無関係です。 これは本当ですか? そのことを今のところ理解できないのですが。 {ZFC集合論}を基に、{ユークリッド幾何学}は構築されていると思います。 {ZFC集合論}を基に、{ロバチェフスキー幾何学}は構築されていると思います。 つまり、{ZFC集合論}が大前提になっていると思うのです。 {公理的なユークリッド幾何学}では「点」や「直線」の概念が無定義で出現し、それらの関係などが公理的に定義されますが、それらは究極にはZFC集合論での記号で書かれると思うのです。 ＞つまり、{ZFC集合論}の集合 R^2 をもって、特定のモデル E = ＞(R^2, 計量やら何やら) を考え、これと {ユークリッド幾何学}の ＞「点」や「直線」の概念とを対応づけることで {ZFC集合論} の中に ＞{ユークリッド幾何学} を構成できるのです。 これはおおむね理解できます。 そして、「第五公準(平行線は唯一唯一つ)」というのと、「ピタゴラスの定理」というのは同値になりそうというのも了解いただけますか? つまり、一方を公理とすれば、他方は定理となる。 ただ、これはそうなりそうというだけで、厳密に示した人は、少なくとも身近にはいないだろうというのが僕の感覚です。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>ピタゴラスの定理が成り立たない空間の例が非ユークリッド幾何学 >という意味で、それを反例といってもいいと思います。 ダメです。用語を正しく使わないと混乱するだけです。 他の回答者の方の述べておられますが、反例という場合には考えている公理系(この場合はユークリッド幾何学)が前提としてあった上で、ピタゴラスの定理が成立しない直角三角形が存在する必要があります。 ZFC公理系には連続体仮説が成り立たない論理モデルが存在しますが、それを連続体仮説の反例とは言いません。 >公理というのが、いくぶんか人間の判断で決められるとしたら、 >現代数学では第五公準を公理としないで、 >ピタゴラスの定理を公理とするほうが圧倒的多数だと思います。 寡聞にしてそのようなユークリッド幾何学の構成方法を目にしたことはありません。 他の所でも言いましたが、公理の選定は議論の進め易さよりも「数学的直感」「自明らしさ」を基準にするべきだと考えます(私見です。一般的かどうかは知りません) 第５公準と比較して、ピタゴラスの定理の方が明らかに自明性で劣ると考えます。 >基礎論的に、公理的に、ピタゴラスの定理を証明するのは、できるであろうが、とっても困難。 >それの証明を僕は見たことがないが、みなさんは見たことがありますか? 他の補足を見るに、基礎論としてZFC集合論のようなものを想定しておられるようですね。 ユークリッド幾何学は ZFC集合論とは別の公理系です。別段 ZFC が唯一無二の公理系というわけでもないし。 一方で、ZFC集合論をもととして自然数 → 有理数 → 実数を構成して、実数のペアから成る集合 R^2 をユークリッド幾何学の公理系を満たすひとつのモデルとすることはできるでしょう。(自分はやったことないけど) もちろん同様にしてロバチェフスキー幾何学のモデルも集合論の中で構成可能なはずです。 ポイントはユークリッド幾何学のモデルは R^2 だけではないという事実です。実際に、集合論的にはユークリッドの公準を満たすモデルを無数に構成できるはずです。 しかし、ユークリッドの公準から出発してピタゴラスの定理を得られたならば、どのようなモデルを採用しようとも問題はないと言えます。
補足
こんにちは。 公理系とは、いわば学者が考えたルールのようなものですが、 平行線は１つという第五公準を公理として採用するか、 平行線は無限個というのを公理として採用するか、平行線は０個を公理として採用するか、歴史的には議論されたともいます。 どれを採用してもいいのですが、現代数学では全部を採用していると思います。 つまり、リーマン計量とか曲率とかいうのを考えて、どれも平等に扱っていると思います。 連続体仮説においても、採用するかしないかの問題だと思いますが、それは普通の（基礎論以外の）数学者にとっては興味のうすい問題だと思います。 つまり、非ユークリッド幾何学は十分に市民権を得ているので、そこではピタゴラスの定理が成立しない、それは反例である、という発言は許されると思います。 ＞第５公準と比較して、ピタゴラスの定理の方が明らかに自明性で劣ると考えます。 歴史的に、また気持ち的にもそれは理解できます。 しかし、たとえば、大学で習う数学的に、また、分かりやすい数学的には、ピタゴラスの定理を公理として、たとえば解析幾何学を展開していくのが普通と思います。 ＞ユークリッド幾何学は ZFC集合論とは別の公理系です。 ちょっとこれには納得できません。 ＞一方で、ZFC集合論をもととして自然数 → 有理数 → 実数を構成して、実数のペアから成る集合 R^2 をユークリッド幾何学の公理系を満たすひとつのモデルとすることはできるでしょう。(自分はやったことないけど) あと、R^2に距離とか計量（＝ピタゴラスの定理）を入れる必要があります。 それは厳密であり、分かりやすくもあり、それこそが現代数学の主流だと思います。 その反対に、第５公準とかを基にユークリッド幾何学を展開するのは、歴史的には必然で、かつ直感が働くすばらしいものであるが、現代数学の主流ではないと思います。 同じことですが、ピタゴラスの定理っていうのは、現代数学（大学で習う数学）では、公理として扱われていると思います。 ヒルベルトはユークリッド原論をより厳密にしようと、幾何学原論を書いたそうですが、現代数学（大学で習う数学）では、「読まなくてもいい存在」のように感じます。 自虐的ですが、僕はピタゴラスの定理の証明を知りたくて、いろいろ考え、ここで質問させていただいたのですが、結局「知らなくてもいい存在」のように感じています。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>これは、実は簡単にわかります。証明できません。 >なぜなら、非ユークリッド幾何学という反例があるから。 それは反例とは言いません。 fjfsgh さんはユークリッド幾何学の範囲(あるいは公理系を基礎に)ピタゴラスの定理が成立すると考えているのですか？それともそうではない？ >普通のユークリッド幾何学を展開していく上での、 >仮定とか前提と考えたほうがいいと思います。 ユークリッド幾何学の公理を前提としてピタゴラスの定理が証明できるなら、新たにピタゴラスの定理を前提(あるいは公理)として追加する必要はありませんね。冗長なだけです。 ということは fjfsgh さんはユークリッド幾何学の公理を満たし、かつピタゴラスの定理が成立しないような幾何学的モデル(論理学の意味でのモデルね)が存在すると考えておるのですね。それはどのようなものなのでしょうか？補足して下さい。 >一般的には、第五公準(平行線は唯一唯一つ)ってのがそうだと思われます。 >しかし、その前に、点とか直線とか、距離とか、角度とか、合同とか、たくさんの概念が定義されなくてははなりません。 定理を証明するのに色々準備が必要なのは当然だと思います。 ましてや公理にまで遡って厳密さを追及するならなおさらです。
お礼
すみませんが、 ピタゴラスの定理が成り立たない空間の例が非ユークリッド幾何学 という意味で、それを反例といってもいいと思います。 ＞fjfsgh さんはユークリッド幾何学の範囲(あるいは公理系を基礎に)ピタゴラスの定理が成立すると考えているのですか？それともそうではない？ 第五公準(平行線は唯一唯一つ)というのが、ピタゴラスの定理と同値だと思っています。 ただ、ピタゴラスの定理を公理として、第五公準を示すのは容易だとして、第五公準を公理として、ピタゴラスの定理を示すのは、困難と思います。 公理というのが、いくぶんか人間の判断で決められるとしたら、現代数学では第五公準を公理としないで、ピタゴラスの定理を公理とするほうが圧倒的多数だと思います。 ちょっと僕のニュアンスが伝わっていないようですが、 基礎論的に、公理的に、ピタゴラスの定理を証明するのは、できるであろうが、とっても困難。 それの証明を僕は見たことがないが、みなさんは見たことがありますか?
- Sompob
- ベストアンサー率21% (110/516)
質問者さんの大きな間違い。それも見逃せない 決定的な間違い。 非ユークリッド幾何学はユークリッド幾何学の 反例と断定している点。 この誤った思い込みから出発しても迷うだけ。 非ユークリッド幾何学はユークリッド幾何学の 拡張ですよ。 ユークリッド幾何学を用いて、非ユークリッド 幾何学のモデルが作れるから（非ユークリッド 幾何学のケーレー＝クラインの表示、或いはポ アンカレの表示）、この意味する所は、ユーク リッド幾何学に矛盾無い限り、非ユークリッド 幾何学も矛盾が無い、と謂う事。逆も然り。 あたかも、特殊相対性理論と一般相対性理論の 関係の様に、非ユークリッド幾何学の特別な表 現がユークリッド幾何学。これが成立しないで 何が非ユークリッド幾何学ですか？ ったく。 質問者さんが指摘するまでも無く、ユークリッ ド幾何学の大前提、公理と公準は、厳密には仮 定と謂うか説明。それを始めるにあたって、正 しいと思われるから受け入れてくれ、と謂ふ所 から始まっているのだから、數學的証明ではあ りません。が、だから？ それで矛盾無い体系が出来上がれば居ればよい だけの話。ほころびがあれば、直せば良いだけ で、今の所、ユークリッド幾何学は、土台を作 り替える必要はありません。 次。 公理と公準の前に、ユークリッド自身が、点、 直線、平面、などをちゃんと定義して居ります が、幾何学「原本」お読みに成りましたか？ 二番さんの回答が示す図に不満がある様ですが 図と方程式の意味、ご存じですよね。 特定の図と謂って居られるがここも間違い。 ａ、ｂ、ｃに自然数の解があれば、必ず、直角 三角形として表現出来ると謂っているだけの話 と、ボクは理解してますが。
お礼
すみませんが、 非ユークリッド幾何学はユークリッド幾何学の拡張 とは普通は言いません。 独立であると言うことはありますが。 ＞次。 ＞公理と公準の前に、ユークリッド自身が、点、 ＞直線、平面、などをちゃんと定義して居ります ＞が、幾何学「原本」お読みに成りましたか？ ヒルベルトの幾何学基礎論の邦訳を眺めた程度です。 しかし、それがあやしく思えて仕方ないのです。 数学基礎論とは、ZF公理系を基に集合論を、ペアノの公理を基に自然数論と展開していくものだと思います。 しかし、幾何学基礎論とかユークリッド幾何は、ZF公理系とは縁がないように感じるのです。 数学基礎論とは、おおまかにいって記号の操作といってもいいと思いますが、幾何学基礎論とかユークリッド幾何は、記号の操作とは思えないのです。 Sompobさんは、幾何学「原本」やらを読まれたのでしょうか?
- kkkk2222
- ベストアンサー率42% (187/437)
誠に僭越ながら回答させて頂きます。浅学故に誤謬が含まれる可能性が大きく前もって御了承下さい。結論を先に書きますと貴殿と同じ見解で御座います。 ーーー ユークリッド原論（その一部分）は ユークリッド空間の構築のために書かれていると解するならば、 Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２、を以って完成となります。 Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２は合同の定義と同値となっています。故に、Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２の証明は不可能と解することも出来ると思います。証明とは何かとの議論に還元されます。 ーーー しかしながら、 後世になって非ユークリッド幾何が認知された視点に立つと、 何故、Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２を示せば成らぬのか、 Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２は、定義そのものではないか、となります。 振り返って見れば、 原論は、ユークリッド幾何のみを対象としており、 ユークリッド幾何自身の定義は考慮されていない、 ユークリッド幾何自身の定義は不要と解することとなります。 １＃ ユークリッド幾何のみを対象とした視点。 ２＃ ３幾何を対象とした視点。 １＃ Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２ は必要。 ２＃ Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２ は不要。 個人的には２＃の視点です。 ーーー
- N64
- ベストアンサー率25% (160/622)
あなたのご意見だと、ユークリッド幾何学そのものが不備だということになりそうです。それはそれで、正しい見識だと思います。
お礼
そうです。 自然数論などはＺＦ集合論を基に見直すことができますが、 ユークリッド幾何学をＺＦ集合論を基に見直し、ピタゴラスの定理を証明することは、できるであろうが、 困難かつほとんどの人はみたことがないだろう、と思っています。
- komimasaH
- ベストアンサー率16% (179/1067)
１００以上の証明方法があるそうですが、有名なのはピタゴラス自身の証明でしょう。 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pythagoras/pythagoras3.htm
お礼
すみませんが、 それらの「図」による証明 には、すべて不備があります。 たとえば、任意の直角三角形について証明しなければならないのに、図に描いた一つの直角三角形についてしか言及していません。
- Willyt
- ベストアンサー率25% (2858/11131)
ピタゴラスの定理はユークリッド幾何学の５つの公理を真とした場合にはその公理を使って証明できていますから、これはユークリッド幾何学下での定理です。非ユークリッド幾何学では成立しないのは当然です。 ちなみに公理というのは証明不可能です。それを真と認めるて初めてその公理が支配する体系に入り込めるのです。
お礼
すみませんが、 ユークリッド幾何学の「５」つの公理 だけを公理系とするには不備があります。
補足
まず、岩波の数学辞典で「ユークリッド幾何学」の項目から一部抜粋します。 ---------------- 今日の数学の立場からは、剛体運動の自由度に着目したH.Helmholtzの思想によって運動群を定義し、F.Kleinに従って運動群によって不変なアフィン空間の性質を研究するのがユークリッド幾何学であるとするのが最も簡明であろう。 ---------------- でも、その運動群の定義がすごく複雑で、すぐにはまったく理解できないし、また、後に書かれているピタゴラスの定理に関する記述もさらっとしか書かれていません。 ピタゴラスの定理を別の公理から導くことは、あきらめたほうが賢明な気がします。 koko_u_さんの書かれた歴史の話は、おおまかには理解できます。 公理的集合論は、すべての数学の土台として妥当そうだとは僕も思います。 しかし、だからといって、すべての数学がそれを意識しているわけではないと思います。たとえば、図形の性質（三角形の角度の二等分線は１点で交わる）とか組合せの話（n個からr個を選ぶ組合せはnCr通りで、その二項係数にはいくつかの性質がある）とか。 あと、公理的集合論だけでは語ることができない圏論というのもあるし。 たとえば、ユークリッド原論を時間をかけて熟読することは無意味なように（流し読みだけでＯＫという意味、雰囲気を知るだけでＯＫという意味）、ヒルベルトが書いた幾何学基礎論を時間をかけて熟読することも無意味そうだし、ZFC 集合論とか運動群とかの立場からピタゴラスの定理を見直そうとするのも無意味そうに思えます。 いろいろ僕の気持ちは揺れますが、ピタゴラスの定理は公理としてしまう立場のほうがいいと思います。