一定の加速度で運動する振り子の周期について

質問

ひもの長さがLで振り幅が十分に小さい振り子が、水平方向に加速度Aで進んでいる状況を考えています。
重力加速度と振り子の加速度のベクトルの和をとって、それを見かけの重力加速度として考え、周期T=2π√(L/√(g^2+A^2))というのは分かります。
しかし、運動方程式を立てて周期を求めると、加速度がない場合と同じでT=2π√(L/g)になってしまいます。
運動方程式は、振り子の質量をm、ひもが鉛直方向と作る角をθ、最下点を原点として水平方向にx軸をとり、振り子の変位をx1、近似sinθ≒x/L、cosθ≒1を使って、
ma = -mg・sinθ-mA・cosθ
　　≒-mgx1/L-mA
a = -g/L(x1 + LA/g)
a = -ω^2・xと比較して、周期はT=2π√(L/g)、単振動の中心はx=-LA/gになるのですが、どこが間違っているのでしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

これは使っている近似が悪いのです。
>近似sinθ≒x/L、cosθ≒1を使って
この近似は|θ|が小さい時だけに使える近似です。
ところが今回の問題では振り子の中心位置がθ=0の点ではないため|θ|が小さいとはなりません。
振り子の中心をθoとすると|θ-θo|は小さい、ということはできます。

この場合、次のように変形しましょう。
三角関数を合成します。
-mg・sinθ-mA・cosθ=-m{√(g^2+A^2)}・sin(θ-θo)
ここで sinθo=-A/√(g^2+A^2)

運動方程式は
ma=-m{√(g^2+A^2)}・sin(θ-θo)
となり、これは重力が√(g^2+A^2)、θoを中心とした単振り子の運動方程式になります。

お礼

わかりやすい解説、ありがとうございました！