連成振子の運動エネルギーの周期変化

質問

長さLの糸と質量ｍの錘からなる単振子を2つ用意してばね定数ｋ自然長ｄのばねで結合する。２つの振子が最下点で静止しているときばねによる力は働かないとする。重力加速度ｇとする。

という連成振子の問題があって、第1（第2）の振子の変位をｘ（ｙ）とすると、初期条件ｘ(０)＝a,ｘ’(０)＝ｙ(０)＝ｙ’(０)＝０から

ｘ＝(a/2)(cosω1t+cosω2t)、y=(a/2)(cosω1t-cosω2t)

ただしω1＝(g/L)^1/2、ω2＝(g/L+2k/m)^1/2

という解になると思います。

この時ｋが小さいとすると、うなりが起きて運動エネルギーが2つの振子の間を行き来するというところまではわかります。ですが、ｋに対する具体的な条件と運動エネルギーの移動の周期を求めよという問題があり、それががわかりません。

ｋのほうはω2に近似を使うために、2kL/mg<<1　という条件かなと思うのですが運動エネルギーのほうはうまく式変形をしてまとめることができずに困っています。どなたかご教授お願いします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

>運動エネルギーについてだったら、(m/2){(x')^2+(y')^2}について考えなくてはならないのではないでしょうか？

問題がやや不十分な表現になっていると思われます。運動エネルギーではなく，振動のエネルギーといえばそれが振幅の2乗に比例することが明確なのですが。もちろん，ここで考えるべきは２つの振子の間で振動のエネルギーが行き来しているという点ですから，いずれか一方の運動エネルギーの振幅変動を考えれば十分です。

変位の振動とともに２つのおもりの運動エネルギーも振動しています。その振幅の変動周期を求めよというのが題意です。運動エネルギーの振幅変動は，変位の振幅変動に同じです。ただし，いずれも「振幅の」変動ですから因子cosβの絶対値の変動周期であることに注意してください。いずれかの運動エネルギー（mx'^2/2またはmy'^2/2）を直接求めれば変動周期が出てくるわけですが，周期を求めるだけならその必要はなく，振幅変動の因子cosβの周期の半分であることは明らかでしょう。

お礼

たびたびありがとうございます。
画像付きの解説非常に分かりやすかったです。

回答No.1

yokkun831

α=(ω1+ω2)t/2、β=(ω1-ω2)t/2とおきますと、
ω1t=α+β、ω2t=α-βと書けます。すると、
x = (a/2){cos(α+β)+cos(α-β)} = a・cosαcosβ
と変形できます。ここでcosβが振幅変動の因子になり、cosαが振動因子になります。

お礼

お早い回答ありがとうございます。

ただ、この回答はｘについて変形したものでｘの振動の形についてはわかるのですがここから運動エネルギーやｋの条件について何かわかるのっでしょうか？

運動エネルギーについてだったら、(m/2){(x')^2+(y')^2}について考えなくてはならないのではないでしょうか？

少しこちらの質問の仕方が悪かったかもしれないです。
(m/2){(x')^2+(y')^2}に関して式の整理がうまくできないという意味での質問のつもりでした。