単振り子

質問

単振り子の運動方程式をエネルギー保存則から導け

単振り子は糸の長さがLで先についているおもりの重さがｍ糸の張力がT
重力加速度がgで速さがV糸と鉛直方向の角度がθです

宜しくお願いします

回答No.3

brogie · ベストアンサー

brogieです。
最初に回答したのはよいですが、motsuan さんが言われるように、間違っています。
御免なさいm(___)m

θ<<1として
sinθ = θ
cosθ = 1 -θ^2/2 (1)
と近似式が成り立ちます。

y = L-Lcosθ （これを間違っていました）
= L-L(1 - θ^2/2)
=Lθ^2/2 (2)

エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgLθ^2/2 = const

tで微分して
mV(dV/dt) + mgLθ(dθ/dt)= 0 (3)

質点mが運動する方向（接線方向）にｓをとると
s = Lsinθ = Lθ (近似式） (4)

Vは接線方向の速度ですから
V = ds/dt
= L(dθ/dt) (5)

(3)式は、(5)式を使って
m(dV/dt) + mgθ = 0 (6)

mgθ = mgsinθ
ですから、重力の接線方向の成分です。
これをFとすると、(6)式は

m(dV/dt) = - F (7)

と運動方程式が求まります。
-がついているのは、ｓの増加する向きを正にとっているからです。
(5)式があなたが補足質問されている答えです。
また、間違いがあるかも知れませんが、後はあなたの実力で解答してください。
では。

回答No.2

motsuan

brogieさんのやり方でいいと思いますが、
y=L-Lsinθが間違っています。y=L-Lcosθですよね。
Lθが弧の長さであることがわかれば分かると思います。

もし、レポートの問題でしたら、エネルギーの時間変化から
dθ/dtを落とすところで、dθ/dt=0のとき
（ほとんどすべての点でそうではないのですが）の扱いについて
じっくり考えてみるとよいのではないでしょうか？

以上アドバイスでした。

回答No.1

brogie

今晩は！！

エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgy = const
です。

y = L-Lsinθ
θ<<1とおくと（振幅が小さいとき）
sinθ = θ　　(近似式）
となるので
y = L-Lθ　　(近似式）

故に、
mV^2/2 + mg(L-Lθ) = const
この両辺を時間tで微分すると、
mV(dV/dt) -mgL(dθ/dt) = 0
となり

L(dθ/dt) = V
であるから、
mV(dV/dt) - mgV = 0

m(dV/dt) = mg

となる。これが求める運動方程式でしょう？
何年ぶるかな！　こんな問題にチャレンジしたのは？
自信なし（＾＾；

補足

mV(dV/dt) -mgL(dθ/dt) = 0
の後

L(dθ/dt) = V
に続くところがよくわかりません
お手数ですが答えてくださると嬉しいです