単振り子の周期

質問

単振り子の周期TがT=2π√L/gになるのがよくわかりません。
自分はまだ物理に対して未熟で、持っている参考書を見ても書いていません。
どなたか運動方程式を用いての導き方を教えてくださいませんか？
自分の中で納得がいかなくてやり方もわからなく困ってます

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

まず、関係ないのですが、前段として、等加速度直線運動の話をします。
等加速度直線運動は、
質量×加速度　＝　質量×ａ
つまり
加速度　＝　ａ　（　＝　定数）
これだけです。
これを時刻ｔで１回積分すると
速度ｖ　＝　∫ａｄｔ　＝　ａ∫１ｄｔ　＝　ａｔ　＋　Ｃ1
となります。
ここで、ｔ＝０　のときの　ｖ　を　ｖo　と決めると、
ｖo　＝　ａ×０　＋　Ｃ1　＝　Ｃ1
なので、結局
ｖ　＝　ａｔ　＋　ｖo
となります。これは、公式として物理の教科書に載っています。
もう一度、時刻ｔで積分すると位置になります。
位置ｘ　＝　∫ｖｄｔ　＝　∫（ａｔ　＋　Ｖo）ｄｔ　＝　ａ∫ｔｄｔ　＋　ｖo∫１ｄｔ
　＝　１／２・ａｔ^2　＋　ｖoｔ　＋　Ｃ2
ここで、ｔ＝０　のときの　ｘ　をゼロと決めると、Ｃ2＝０　となるので、
ｘ　＝　１／２・ａｔ^2　＋　ｖoｔ
これも公式として教科書に載っているはずです。
台形の面積を求めるという怪しげな計算方法が載っていますが、実はそれは積分のことなのです。

微分記号で書くと、
ａ　＝　ｄ^2ｘ／ｄｔ^2
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ
です。

何を言いたかったかというと、位置を時刻で微分すれば速度、速度を時刻で微分すれば加速度になるということです。

では本題です。

単振り子など、単振動の方程式は、
ａ　＝　ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｋｘ　　（ｋ＞０）
です。
ｋはバネ定数（単位はＮ／ｍ）です。
マイナス記号がついているのは、左に振れたときに右への力、右に振れたときに左への力が働くことを意味しています。
ここから先は大学で習う微分方程式の世界なのですが、左辺にｘの２回微分があり、右辺にｘがあることに注目すると、
２回微分したときに、もとの関数にマイナスがつくものを考えればよいことになります。
それは、sin や cos です。
cosθ　＝　sin（θ＋π／２）　であることを考えると、関数は sin でも cos でもよいことがわかります。

周期がＴになる sin は
ｘ　＝　Ａsin（２πｔ／Ｔ　＋　Ｃ）
と表すことができますよね？（重要）
（Ａ　は片側振幅です）

これを　ｔ　で１回微分すると、合成関数の微分により
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　２π／Ｔ・Ａcos（２πｔ／Ｔ　＋　Ｃ）

もう１回微分すると、cos の微分は －sin なので、
ａ　＝　ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－（２π／Ｔ）^2・Ａsin（２πｔ／Ｔ　＋　Ｃ）
　＝　－（２π／Ｔ）2・ｘ

これで、単振動では、
｜ａ｜　＝　（２π／Ｔ）2・｜ｘ｜
となることがわかりました。

単振り子の場合は、
｜ａ｜　＝　｜ｇθ｜
｜ｘ｜　＝　Ｌθ
なので、
｜ｇθ｜　＝　｜（２π／Ｔ）2・Ｌθ｜
｜Ｌ／ｇ｜　＝　（Ｔ／２π）2

ｇ＞０、Ｔ＞０　と決めれば
Ｔ　＝　２π√（Ｌ／ｇ）

お礼

ありがとうございました

回答No.2

noname#157574

私見ですが，単振り子の周期は小学5年ではなく，平方根を習う中学3年に回すべきだと思います。物理学は数式での理解が不可欠ですから。