この問題を解いてくれるかたはいらっしゃいませんか。

質問

数直線上の原点Ｏから出発して、硬貨をなげながら駒を整数点上を動かすゲームを考える。毎回硬貨を投げて表が出れば＋１、裏が出れば－１、それぞれ駒を進めるとする。ただし、点－１または点３に着いたときには以後そこにとどまるものとする。
（１）ｋ回目に硬貨を投げたあと、駒が点１にある確率を求めよ。
（２）ｋ回目に硬貨を投げたあと、こまがある点Ｘｋの期待値Ｅ[Xk]を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

取り敢えず（１）を回答します。
表、裏の出る確率をそれぞれ1/2とする。
n=1,2,3,・・・としてn回目に硬貨を投げたあと、駒が点mにある
確率をP(n,m)とすると、題意からm=-1,0,1,2,3であり、以下の
関係式が成り立つ。
P(n,-1)=(1/2)P(n-1,0)+P(n-1,-1)・・・・・・(ア)
P(n,0)=(1/2)P(n-1,1)・・・・・・・・・・・・・・・・・(イ)
P(n,1)=(1/2)P(n-1,0)+(1/2)P(n-1,2)・・・(ウ)
P(n,2)=(1/2)P(n-1,1)・・・・・・・・・・・・・・・・・(エ)
P(n,3)=(1/2)P(n-1,2)+P(n-1,3)・・・・・・・・(オ)
P(n,-1)+P(n,0)+P(n,1)+P(n,2)+P(n,3)=1
初期条件P(0,0)=1、P(0,-1)=P(0,1)=P(0,2)=P(0,3)=0
（１）ｋ回目に硬貨を投げたあと、駒が点１にある確率を求めよ。
＞求める確率P(k,1)は、上記の関係式でnをkに置き換えて、
(イ)からP(k-1,0)=(1/2)P(k-2,1)、
(エ)からP(k-1,2)=(1/2)P(k-2,1)
これらを(ウ)に代入すると
P(k,1)=(1/2)P(k-1,0)+(1/2)P(k-1,2)
=(1/2)*(1/2)P(k-2,1)+(1/2)*(1/2)P(k-2,1)=(1/2)P(k-2,1)
となり、P(k,1)=(1/2)P(k-2,1)・・・・・・・(カ)　が得られる。
k回のうち表がa回、裏が(k-a)回出た場合、そのときに駒がある
点xは、+1がa回で-1が(k-a)回だからx=a-(k-a)=2a-kとなる。
x=1の確率を求めるので、2a-k=1。
k=2a-1、a=0,1,2,3,・・・・・≦kかつk≧1からk=1,3,5,・・・・・となり、
駒が点1にあるのはkが奇数、すなわち硬貨を奇数回投げた場合
であることが分かる。
そこで、k=2a-1を上記の(カ)に代入して計算すると、
P(2a-1,1)=(1/2)P(2a-3,1)、
P(2a-3,1)=(1/2)P(2a-5,1)
P(2a-5,1)=(1/2)P(2a-7,1)
P(2a-7,1)=(1/2)P(2a-9,1)
・・・・・・・・・・・・・・・・
P(2a-(2a-3),1)=P(3,1)=(1/2)P(1,1)
となるので、これらを順次代入していくと
P(2a-1,1)=(1/2)P(2a-3,1)=(1/2)^2P(2a-5,1)
=(1/2)^3P(2a-7,1)=・・・・・=(1/2)^(a-2)P(3,1)
=(1/2)^(a-1)P(1,1)
2a-1をkに戻すと
P(k,1)=(1/2)^{(k-1)/2}P(1,1)
ここでP(1,1)は硬貨を1回投げたあとに駒が点1にある確率だから
P(1,1)=1/2
よってP(k,1)=(1/2)^{(k-1)/2}(1/2)=(1/2)^{(k+1)/2}
以上から、求めるｋ回目に硬貨を投げたあと、駒が点１にある
確率は以下の通り。
kが奇数の場合は(1/2)^{(k+1)/2}、kが偶数の場合は0・・・答え

回答No.1

genshisyounen

間違えていたら、ごめんなさい。
実際にやってみると、各回で各点上にある確率は下記の表のとおりになります。
（ただし、ー１と３については、各回のみの確率であり、実際の確率はその累積となります）。

点数............-1....................0.............1................2.............3.....
１回目.....1/2（終了）.........0...........1/2...........0.............0.....
２回目.......................(1/2)^2..........0.........(1/2)^2.........0.....
３回目....(1/2)^3(終了).....0..........(1/2)^2.......0.......(1/2)^3(終了)
４回目..........................(1/2)^3.........0.........(1/2)^3................
５回目....(1/2)^4(終了).....0..........(1/2)^3.......0.......(1/2)^4(終了)
６回目..........................(1/2)^4.........0..........(1/2)^4................
７回目....(1/2)^5(終了).....0..........(1/2)^4.......0.......(1/2)^5(終了)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
したがって、
（１）ｋ回目に硬貨を投げたあと、駒が点１にある確率
　　　kが奇数の時　(1/2)^((k+1)/2)
　　　kが偶数の時　0
（２）ｋ回目に硬貨を投げたあと、駒がある点Ｘｋの期待値Ｅ[Xk]
　　・　ｋ回目に硬貨を投げたあと、駒が点０にある確率（=駒が点２にある確率）
　　　　　　　　　kが奇数の時　0
　　　　　　　　　kが偶数の時　(1/2)^((k+2)/2)
　　・　ｋ回目に硬貨を投げたあと、駒が点ー１にある確率
　　　　最初の１回目で1/2の確率を取得し、さらに、１から(1/2、駒が点０にある確率、
点１にある確率及び点２にある確率）を引いた値を、点３と1/2づつ分け合う。
　　・　ｋ回目に硬貨を投げたあと、駒が点３にある確率
　　　　１から（1/2、駒が点０にある確率、点１にある確率及び点２にある確率）
を引いた値を、点ー１と1/2づつ分け合う。
よって、期待値Ｅ[Xk]は、
　　　　kが奇数の時
　（(1/2)^((k+1)/2))*1+((1-1/2-(1/2)^((k+1)/2))/2+1/2)*(-1)+(1-1/2-(1/2)^((k+1)/2))/2*3
（注釈　　１点の確率×１点＋　ー１点の確率×ー１点 ＋３点の確率×３点）
　　　　kが偶数の時
((1/2)^((k+2)/2))*2+((1-1/2-((1/2)^((k+2)/2))*2)/2+1/2)*(-1)+((1-1/2-((1/2)^((k+2)/2))*2)/2)*3
　 （注釈　　２点の確率×２点＋　ー１点の確率×ー１点 ＋３点の確率×３点）