数学

質問

問題：図のように、円Oの外部の点Pを通る直線が円Oと2点A,Bで交わるとする。
Pから円Oに直線を引き、その接点をTとすると、
PA・PB=PT^2
であることを証明せよ。

という問題です。この直前の例題や問題で、
「方べきの定理におけるPA・PBの値はその円の中心Oを半径rとすると、|PO^2-r^2|に等しい」
ということをやりましたので、
直角三角形の性質より、PO^2-r^2=PT^2
だからではないかと思っていますが、解答がないため、ちゃんとした説明のしかたがわかりません。
また、あっているかもわかりません。解答をお願いします。

また、証明問題について、説明する順番や、良い言い回しや、表現の仕方はありますか？
例えばこの問題において、
「方べきの定理よりPA・PB=PO^2-r^2なので、」という使い方をして良いのでしょうか。

証明するにあたって、どこまでを定理まかせにしてよいのかいつもわかりません。
直前に方べきの定理をやっていなかった場合、PA・PB=PO^2-r^2
が成り立つところから証明するべきなのでしょうか？

わかりやすく途中式などおしえてくれる方いましたらお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞問題：図のように、円Oの外部の点Pを通る直線が円Oと2点A,Bで交わるとする。
＞Pから円Oに直線を引き、その接点をTとすると、
＞PA・PB=PT^2
＞であることを証明せよ。

三角形の相似から証明できます。

点Ｐに近いほうを点Ａとします。
△ＰＡＴと△ＰＴＢとで、
∠Ｐ共通
∠ＰＴＡ＝∠ＰＢＴ（ＰＴは円Ｏの接線だから）
だから、2つの角が等しいので、
△ＰＡＴ∽△ＰＴＢ
これから、ＰＴ：ＰＢ＝ＰＡ：ＰＴ
よって、ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ^2