方べきの定理をベクトルで証明
2次方程式が重解を持つときの、代入さきがわからないので質問します。
OAベクトルはOA→。OA→=aとおくとき、aどうしの内積は(a,a)、またaの大きさを||a||と表します。お願いします。
円Oの外の点Aから円Oに引いた接線の接点をTとし、Aを通る任意の直線が円Oと交わる点をP、Qとすれば、AT^2=AP*AQ
証明、円の中心を原点Oとし、円の半径を1とすれば、円の方程式は(x,x)=1。→OA=aとおけば、(a,a)>1。Aを通る任意の直線x=a+tu(uはある一定のベクトル。tは任意の数)が円Oと交わる点P,Qとし、
→OP=p、→OQ=qとおけば、p=a+t_1u、q=a+t_2u、(p,p)=(q,q)=1 。このとき、t_1,t_2は次の２次方程式の解となります。
(a+tu,a+tu)=1⇒(u,u)t^2+2(a,u)t+(a,a)-1=0・・・（1）
解と係数の関係によって、t_1*t_2={(a,a)-1}/(u,u)・・・(2)
AP^2=(p-a,p-a)=(t_1u,t_1u)=(t_1)^2(u,u)、AQ^2=(q-a,q-a)=(t_2u,t_2u)=(t_2)^2(u,u)
これと(2)より AP*AQ=t_1*t_2(u,u)={(a,a)-1}/(u,u)*(u,u)=(a,a)-1
ここが分からないところです。Aから円Oに引いた接線ATは、上の２次方程式が重解を持つ場合で、AT^2=AT*AT=(a,a)-1よってAT^2=AP*AQ。と書かれていました。
自分は、(1)の方程式の重解を求めてt=-(a,u)/(u,u)
これをAT^2=(a+tu,a+tu)=(u,u)t^2+2(a,u)t+(a,a)に代入して、-{(a,u)^2}/(u,u)+(a,a)という結果になってしましました。図から三平方の定理で、AT^2=||a||^2-1^2=(a,a)-1というのは納得できましたが、２次方程式からAT^2を求める方法がわかりません。どなたか教えてくださいお願いします。
お礼
的外れだなんて、とんでもない！ 方べきの定理の逆をわかりやすく証明していただき、 ありがとうございます！ 非常に助かりました（＾_＾）