全ての実数ｘに対して、・・・

質問

教えてください。数学が苦手です。詳しく解説してくださる方、お願い致します。

問題
（１）全ての実数ｘに対して、
１＝a(x-1)+b(x-2)
が成り立つように、定数a,bを定めよ。

（２）１，２以外の全ての実数ｘに対して、
1/(x-1)(x-2) = a/x-2 ;+ b/x-1
が成り立つように、定数a,bを定めよ。

（３）1,3以外の全ての実数ｘに対して、
2/(x-1)(x-3) = 1/x-3 - 1/x-1
が成り立つことを確かめよ。

（４）１,２,３以外の全ての実数ｘに対して、
2/(x-1)(x-2)(x-3) = a/x-1 + b/x-2 + c/x-3
が成り立つように、定数a,b,cを定めよ。

途中の基本的な考え方とかも書いていただけるとうれしいです。
解説いただけるかたのみ、コメントお願いいたします。

回答No.3

masssyu · ベストアンサー

（１）
「すべての実数ｘが満たす」というときは
一般的な解答はまずは次数を揃えます=ｘでくくります
１＝a(ｘ-1)+b(ｘ-2)
(a+b)x+(a-2b-1)=0
あとは連立方程式で解くだけですので
a+b=0 a=-b・・・(1)
a-2b-1=0 (1)を代入して　-3b=1 b=-1/3 a=1/3　となります
（２）
1/(x-1)(x-2) = a/x-2　+ b/x-1　の場合も同じで
「１，２以外の全ての実数ｘに対して」の部分は左辺の分母が０になることを防いでいるだけなのであまり気にしません
両辺に(x-1)(x-2)を掛けると
1=a(x-1)+b(x-2)　となり（１）とまったく同じ式になります
よって答えは　a=1/3 b=-1/3
（３）
基本的に行程は（２）と変わりません
2/(x-1)(x-3) = 1/x-3 - 1/x-1
両辺に(x-1)(x-3)を掛けて左辺＝右辺を調べればいいので
左辺＝２
右辺＝(x-1)-(x-3)=2
（４）
2/(x-1)(x-2)(x-3) = a/x-1 + b/x-2 + c/x-3
掛けるものが増えただけなので
両辺に(x-1)(x-2)(x-3)を掛けて
2=a(x^2-5x+6)+b(x^2-4x+3)+c(x^2-3x+2)
展開してx^2,xでくくると
(a+b+c)x^2-(5a+4b+3c)x+(6a+3b+2c-2)=0
あとは三元１次方程式をときます
途中計算は長くなるので少し省略します
a+b+c=0・・・(1)
5a+4b+3c=0・・・(2)
6a+3b+2c=2・・・(3)
(2)、(3)より
-a+b+c=-2・・・(4)
(1)、(4)より
2a=2 a=1
それぞれを代入して
(1)、(2)より
3b+2c=-4・・・(5)
(1)、(3)より
2b+c=-3・・・(6)
(5)、(6)より
b=-2 c=1

すなわちa=1,b=-2,c=1　となります
急いで書いたので計算ミスはお許し下さい

回答No.4

noname#185374

ANo.3の二番目の式の　(a-2b-1)　で a は -a であるべきですね．
当然，a と b の値は違ってきます．

回答No.2

noname#185374

（１）
与式がすべての実数について成り立つのなら，x = 1 に対しても成り立つ．その場合は
1 = a×0 + b×(-1).
これより
b = -1.
同様に，与式は x = 2 に対しても成り立つ．その場合は
1 = a×1 + b×0.
これより
a = 1.

逆に，a, b がそれぞれ上の値のとき，与式の
　(右辺)
= 1×(x-1) - 1×(x-2)
= x-1-x+2
= 1
= (左辺)
なので，たしかに与式はすべての実数 x に対して成り立つ．
---

「逆に」以下の確認の部分は必要です．
この問題では必要十分条件が問われているからです．

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noname#149824

（１）が解けないということは、これを理解してないということですね。

ｘの式
a0x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+・・・+a(n-1)x+an=0
がｘの恒等式である（全てのｘについて成立する）条件は
a0=a1=・・・=a(n-1)=an=0
要は係数が全部ゼロってことです。

（１）の式を変形し上記のような形にして、係数をゼロと置けば後はちょっと変形すれば答えになります。

お礼

ありがとうございました。