(d(a,x)-r,d(a,x)+r) ⊆ d(a,Ur(x)), (a￢∈Ur(x)) の式での証明

質問

(以下の文章中での'_'は字下げです)
U;R^n(n次元ベクトル空間)の開集合, 任意のx∈U,
0<r∈Rは, Ur(x)⊆Uなる実数, ￢a∈U(aはUの元でない)
d(a, ):R^n→[0,∞) は距離関数.
この時,
___(d(a,x)-r,d(a,x)+r) ⊆ d(a,Ur(x)), (￢a∈Ur(x))
を"図によって"では無く,"式によって"で証明したいのです。(図を用いるとこの式の成立は明らかです。)　ご協力お願いします。

[私の証明の方針≡ y∈(左辺)⇒y(右辺)]
￢a∈U → ￢a∈Ur(x) ⇔ d(a,x)≧r を用いて、
y∈(左辺)⇔0≦d(a,x)-r＜y＜d(a,x)+r これより,y≧0
写像d(a, )は[0,∞)で全射(?)だから, ∃w∈R^n,y=(a,w) が言えて,
___r>|d(a,w)-d(a,x)|
d(x,w)<r が成り立てば,証明は完了である.なぜなら,
__d(a,Ur(x)) = {y∈R|∃w∈Ur(x),y=d(a,w)}
________________= {y∈R|∃w∈R^n,y=d(a,w)∧d(x,w)<r}
だから.
ですが,距離関数の公理を用いても,
___|d(a,w)-d(a,x)|≦d(x,w)
が導けるだけで, d(x,w)<r に到達できません.
どうすればいいのでしょうか?
考え方が間違っているのでしょうか?

回答No.1

LightOKOK

参考にしてください。

p∈(d(a,x)-r,d(a,x)+r)とすると

a<x　の場合、
￢a∈Ur(x)だから
(x-a)-r<p<(x-a)+r
-(x+r-a)<(x-a)-r<p<x+r-a
-(x+r-a)<p<x+r-a
-d(a,Ur(x))<p<d(a,Ur(x)
p∈d(a,Ur(x)

a>x　の場合、
￢a∈Ur(x)だから
(a-x)-r<p<(a-x)+r
-(a+r-x)<(a-x)-r<p<a+r-x
-(a-(x-r))<p<a-(x-r)
-d(a,Ur(x))<p<d(a,Ur(x)
p∈d(a,Ur(x)

したがって、
p∈(d(a,x)-r,d(a,x)+r)ならばp∈d(a,Ur(x)
ゆえに
(d(a,x)-r,d(a,x)+r) ⊆ d(a,Ur(x))　∵(￢a∈Ur(x))

お礼

ご回答を有難う御座います。

すみませんが,以下が理解できません。
-----> (x-a)-r<p<(x-a)+r ----(1)式

0<rは実数.
a,xは、n次元ベクトルであり. a=(a1,...,an), x=(x1,...,xn)とすると
____d(a,x) ≡ Σ (ai-xi)^2 = | a - x |
_______________i=1～n
です.
Ur(x) は、xの半径rの開球で、
____ Ur(x) ≡ {y∈R^n | d(x,y)<r}
です.
すると、(1)式が理解できません。
____ a < x とは、⇔∀i∈{1,...,n}, ai<xi ???
実n次元ベクトルと実数の足し算・引き算とは ???

また、
_____-(x+r-a)<p<x+r-a
　　　　　から
_____-d(a,Ur(x))<p<d(a,Ur(x) ------ (2)式
　　　　　への
式変形も理解できません.
そして,(2)式は、
　　マイナス*(集合) < 実数 < (集合)
という不可解な形になっています。

私の理解力が低くて,申し訳御座いませんが上記についての御回答を宜しくお願いします.

補足

私の,'この回答へのお礼'に記述ミスがありましたので訂正いたします。

(間違い): d(a,x) ≡ Σ(ai - xi)^2
(正しい): d(a,x) ≡ √{ Σ(ai - xi)^2 }