三角形の面積を２等分

質問

三角形ＡＢＣのＢＣ上のある点Ｄから直角の直線を引き三角形ＡＢＣの面積を２等分するＤ点の求め方？

回答No.5

naniwacchi

#1です。
やはり、作図なのですね。とりあえず、式から逆に作図する方法を考えてみました。

BD＝ s×BC＝ 1/2×√(BC^2+ AB^2- AC^2)となるので、これを作図します。

おおまかな流れは、以下のようになります。
1) BP＝√(BC^2- AC^2)を作図します。
2) これを用いて、AQ＝√(AB^2+ BP^2)を作図します。
3) AQの半分が求める BDの長さになります。

1)の手順は、
　・BCを直径とする円を描き、
　・Cを中心とする半径ACの円を描き、上の円との交点を Pとします。
　・△BPCは直角三角形となり、BP＝√(BC^2- AC^2)となります。

2)の方は
　・点Bから直線ABに垂直な直線を描きます。
　・その垂線上に、BP＝BQとなる点Qをとります。
　・△ABQは直角三角形となり、AQ＝√(AB^2+ BP^2)＝√(AB^2+ BC^2- AC^2)となります。

あとは、AQの中点Rを求め、点Bから長さが ARとなる点が Dになります。

ちょっと強引ですね。＾＾；

お礼

たびたび回答有難うございました。

回答No.4

shuu_01

ボタンを２回 押して、同じ回答 ２つあげてしまい、ごめんなさい

ところで、最初、重心を含む線ならどこで切っても、面積は半分？

とか思いましたが、頂点を含む時は半分だけど、

そうでない時はちょうど半分にはならないのですね

たとえば、ある辺に平行で重心を通る線で切ると、
小さい方の面積は （2/3）^2 ＝ 4/9 ですもんね

ところで、今回の質問はなんかの問題集とか、入試問題なのですか？

問題があれば、原文も見たいです

補足

この問題は友人が大学時代に解けるはずと考えた問題で入試問題等ではありません。回答を忘れたとのことで質問しました。回答を連絡したところ貴殿のの回答は理解しており本当は作図の方法を忘れているとのことでした。当時友人が解けたのですが今覚えていないとのことです。作図についてご教授お願いいたします。

回答No.3

shuu_01

三角形の AB を x軸上に、C を y軸上に持ってきます

そうすると A は (a, 0）、B は (b, 0)、C は（0, c） とおけます

a、b、c は正か負かわかりませんが、
底辺の長さは ｜b － a｜、高さは ｜c｜ですので、
面積は 1/2｜（b － a） c ｜となります

三角形がすべての角が鋭角なのか、どれか鈍角なのかで、
D の位置が違い、計算も別々にしないといけませんが、

すべての角が鋭角で　b ＞ 0，a ＜ 0　の場合を計算すると
（b ＝ －a なら D は原点におけばよいので１番 簡単）

D は x軸上で原点より Bよりにあり、（d, 0） とおきます

△BCO の面積は 1/2 bc です
点D を通り垂直な線より、右側（B側）の三角形は
△BCO と相似、辺の長さは b：（b - d）
ですので、その面積は 1/2 bc ｛(b － d) / b｝^2
この面積は元の面積の 1/2 なので

1/2 bc ｛(b － d) / b｝^2　＝ 1/2・1/2 （b － a） c

これを d について解くと

d ＝ b ±√｛（b（b － a）/2｝

d ＜ b ですので

d ＝ b －√｛（b（b － a）/2｝

とおくと、三角形の面積を 1/2 でわける線が引けます

点 A が B より右にある時とか、鈍角三角形の場合も
そんな感じで計算できます

回答No.3

shuu_01

三角形の AB を x軸上に、C を y軸上に持ってきます

そうすると A は (a, 0）、B は (b, 0)、C は（0, c） とおけます

a、b、c は正か負かわかりませんが、
底辺の長さは ｜b － a｜、高さは ｜c｜ですので、
面積は 1/2｜（b － a） c ｜となります

三角形がすべての角が鋭角なのか、どれか鈍角なのかで、
D の位置が違い、計算も別々にしないといけませんが、

すべての角が鋭角で　b ＞ 0，a ＜ 0　の場合を計算すると
（b ＝ －a なら D は原点におけばよいので１番 簡単）

D は x軸上で原点より Bよりにあり、（d, 0） とおきます

△BCO の面積は 1/2 bc です
点D を通り垂直な線より、右側（B側）の三角形は
△BCO と相似、辺の長さは b：（b - d）
ですので、その面積は 1/2 bc ｛(b － d) / b｝^2
この面積は元の面積の 1/2 なので

1/2 bc ｛(b － d) / b｝^2　＝ 1/2・1/2 （b － a） c

これを d について解くと

d ＝ b ±√｛（b（b － a）/2｝

d ＜ b ですので

d ＝ b －√｛（b（b － a）/2｝

とおくと、三角形の面積を 1/2 でわける線が引けます

点 A が B より右にある時とか、鈍角三角形の場合も
そんな感じで計算できます

お礼

回答有難うございました。

回答No.2

naniwacchi

#1です。
図に不備があったので、貼りなおしておきます。

お礼

回答有難うございました。

補足

この問題は友人が大学時代に解けるはずと考えた問題で入試問題等ではありません。回答を忘れたとのことで質問しました。回答を連絡したところ貴殿のの回答は理解しており本当は作図の方法を忘れているとのことでした。当時友人が解けたのですが今覚えていないとのことです。作図についてご教授お願いいたします。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
作図で求める方法が思いつかないのですが、ベクトルを用いて計算で求める方法を考えました。
（ベクトルを使うので、高校数学の知識が必要です）

添付のように、等積変形の考え方を用いると、点Dが満たすべき条件が決まります。
※頂点の文字を便宜上変えています。

OA→＝ a→、OB→＝ b→とベクトルを決め、
さらに、BD→＝ s×BC→、AE→＝ t×AB→（s, tは定数）として、sと tを求めます。

垂直および平行に対する条件を整理していくと、sが以下のように求まります。
　s＝ 1/2×√{ 1+ (AB^2- AC^2)/BC^2 }
　※ルートの中は、「１ たす (AB^2- AC^2)/BC^2」です。

たとえば、AB＝ AC（二等辺三角形）のときは s＝ 1/2となり、点Mと一致します。

もっとうまい方法があるかもしれません。ご参考まで。

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