算数 図形問題 - 三角形の面積を二等分する直線

質問

中学受験をする小学生を対象とした図形問題です。
知り合いの子から尋ねられているのですが、考えあぐねております。

下図の△ABCは∠BAC=90°、BC＝8となります。
また、AB上にある点DとAC上にある点Eは BD=CEとなる位置にあり、
△ABCはDEで面積を二等分し、DE=6となります。
この時、△ABCの面積はいくつになりますでしょうか?

おそらくは三角関数や二次方程式、√などを使わずとも解けるようになっていると思われるものの、
どこから考えればいいかが分からず、どなたかご教示いただければ幸いです。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

図が汚くてすみません。
三角形ABCを下側に2倍して長方形ABFCを作ります。ここから三角形ADEの２倍の長方形(これも三角形ABCと同じ面積)を引くと、三角形ABCと同じ面積になります。ところがこれを図で言えば①と②と③を足した面積になっています。
またAB、ACの外側に正方形を描けば、①と②と③の２倍がちょうど
(ABを一辺とする正方形)-(ADを一辺とする正方形)+(ACを一辺とする正方形)-(AEを一辺とする正方形)
になっています。さらに三平方の定理を使えば、これは
(BCを一辺とする正方形)-(DEを一辺とする正方形)
になります。計算すると64-36=28です。つまり三角形ABCの面積はこの半分で14です。

お礼

ご回答ありがとうございます。素晴らしい解法に感嘆しました 「真に驚くべき解法を見つけたが、それを書くには余白が狭すぎる」と言ってしまいそう 図も添付していただいたおかげでとても分かりやすかったです

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回答No.1

gamma1854

小学校レベルで・・・というと難しいですね。
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以下は「方程式」による解法です。
直角を挟む２辺の長さをx, y、DB=EC=a とすると、
x^2+y^2=64, (x-a)^2+(y-a)^2=36, xy/2=(x-a)(y-a).
この方程式を解き、xy/2=14, a=√30 - 4.
聞いていることは S=xy/2=14 です。

お礼

方程式による回答、ありがとうございます。
もし、違う解き方が分かりましたら教えていただければ幸いです。
引き続き、よろしくお願いします。