等しい質量をもつ2つの球がある。一方は中まで一様に質量が分布している。

質問

等しい質量をもつ2つの球がある。一方は中まで一様に質量が分布している。他方は中空の球殻である。斜面上におくと、どちらが速くころがるか。

この問題で慣性モーメントを求めないといけないんですが、半径をa,質量をMとしたとき、中空の慣性モーメントが2Ma^2/3となっています。

式を用いずにいきなり出てくるため、どのようにしてこれを導くのかがわかりません。

これが導出される過程を教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

球殻の厚みを零とします。球面上の質量面密度は
σ = M / (4π a^2) 。
球の中心を通る回転軸のまわりの慣性モーメントは、
I = ∫<θ=0→π>∫<φ=0→2π> σ (a dθ) (a sinθ dφ) (a sinθ)^2
　= σ a^4 ∫<θ=0→π>∫<φ=0→2π> (sinθ)^3 dθ dφ
　= {M a^2 / (4π)} (2π)・ 2∫<θ=π/2→0> {1 - (cosθ)^2} d(cosθ)
　= M a^2 [cosθ - (cosθ)^3 / 3]<θ=π/2,0>
　= 2 M a^2 / 3 。

お礼

わかりやすく説明をしていただきありがとうございました