慣性モーメントの基本問題

質問

１・直径20cm、質量10kgの球の直径を軸とする慣性モーメントを求めよ。
２・外径20cm、内径15cm、質量4kgの中空の球の直径を軸とする慣性モーメントと回転半径を求めよ。

出来ればI=∫r＾2dmを使って求めてください。宜しくお願いします。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

No.1 の誤り訂正です。ρのRの次数が間違ってました。
ρ=(3M)/(4πR^3)
なので、

I=(3M)/(4πR^3)∫r^4 (sinθ)^3 dr dφdθ
∫範囲 r=0～R, φ=0～2π, θ=0～π

です。

結論( (2/5)MR^2 )は合ってます。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

円盤の慣性モーメントから求める方が
簡単ですが、
対象が球なので定石として極座標で計算してみました。

z軸周りの慣性モーメントを求めるとすると
極座標を r, φ, θ、球の直径をR 重さをMとすると
dm = ρdv, ρ=M/((4/3)πR^3) = (3M)/(4πR^2)
極座標のヤコビアンは　r^2 sinθ　なので
dv = r^2 sinθdrdφdθ
軸と dm の距離は r sinθ

よって、
I=∫(3M)/(4πR^2)(r sinθ)^2 r^2 sinθdr dφdθ
=(3M)/(4πR^2)∫r^4 (sinθ)^3 dr dφdθ
∫範囲は r=0～R, φ=0～2π, θ=0～π

を多重積分すれば求まる。

ここで積分の難しいのはθですが、３角関数の積分公式から
不定積分は

∫(sinθ)^3 dθ = -(1/3)(cosθ(sinθ)^2 + 2 cosθ)

ここまで判れば、定積分をr, φ, θについて順次行うだけなので
地道にけいさんすると

i=(2/5)MR^2

が出てきます。