数学Ｃ 行列

質問

行列　１次変換の問題です。
点（１，３）を点（３、－１）に、点（１，２）を点（-１，２）に移す１次変換はｙ＝（１／２）ｘに関する対称移動であることを示せ。
証明の仕方がよく分かりませ。よろしくご指導ください。

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

こんにちは。求める一次変換を表す行列を
A=
(a b)
(c d) とします。この行列Aを求めよう。Aによって点(1,3)は(3,-1)に移り、#2さんが指摘したように
点(1,-2)は点(-1,2)に移るので、
(a b)(1)
(c d)(3)
=
(3)
(-1)
・・・(a)かつ
(a b)(1)
(c d)(-2)
=
(-1)
(2)
・・・(b)　が成り立つ。これより、次のa,b,c,dの連立方程式を得る。
a+3b=3・・・(1)，a-2b=-1・・・(2)，c+3d=-1・・・(3)，c-2d=2・・・(4)。(1)-(2)より
5b=4　つまりb=4/5　このとき、(2)よりa=3/5　同様に(3)(4)を連立して、c=4/5,d=-3/5　となる。
ゆえに
A=
(3/5　　4/5)
(4/5　 -3/5)　・・・(#)と求まった。さて、原点を通る直線　L:y=(1/2)x　に関する対称変換の式を
求めてみよう。
今点P(x,y)がこの対称変換で点Q（X,Y)に移ったとしてX,Yをx,yの式で表してみよう。まず、
線分PQの中点Mは((X+x)/2,(Y+y)/2)でこれが直線L上にあるから、(Y+y)/2=(1/2)(X+x)/2　よって
Y+y=(1/2)(X+x)・・・(6)　次に線分PQ⊥Lなので線分PQの傾きは、「垂直はひっくり返して符号替え」で-2
となる。よって　傾き　(Y-y)/(X-x)=-2　すなわち　Y-y=-2(X-x)　・・・(7)、そこで(6)(7)をX,Yの
連立方程式と思って解けばよい。(6)-(7)として(5/2)X-(3/2)x=2y　ゆえに5X=3x+4y　
∴X=(3/5)x+(4/5)y　このとき、(7)より、Y=-2((3/5)x+(4/5)y)+2x+y=(4/5)x-(3/5)y　こうして
X=(3/5)x+(4/5)y　・・・(8)　Y=(4/5)x-(3/5)y　・・・(9)となった。(8)(9)が直線y=(1/2)xに関する
対称変換の式でこれを行列で表せば、

(X)
(Y)
=
(3/5　　4/5)(x)
(4/5　 -3/5)(y)
となる。こうして2つの変換は一致していることが分かった。「回答終わり」

(☆)なお、次の「定理１」が成り立つ。

「定理１」原点を通る傾きがある直線L:y=(tanθ)x・・・(A)に関する対称変換は、一次変換で
あって、行列
(cos2θ　　sin2θ)
(sin2θ　 -cos2θ)・・・(B)で表される。行列(B)を「鏡映」とよび(大学の数学）、
その行列式は-1で直交行列の一つです。なお原点の周りのθの回転は

(cosθ　　-sinθ)
(sinθ　 　cosθ)でこれも直交行列ですが、行列式は１の方です。

この証明をあとに書いておきますが、今これを使って質問者の問題を解いてみよう。
まずy=(1/2)xだから
tanθ=1/2　・・・(1)　ここでcos2θ=cos^2θ-sin^2θ=cos^2θ(1-sin^2θ/cos^2θ)
=1/(1+tan^2θ)(1-tan^2θ)=(1-tan^2θ)/1+tan^2θ),sin2θ=2sinθcosθ=2tanθcos^2θ
=2tanθ(1+tan^2θ)　つまり

cos2θ=(1-tan^2θ)/1+tan^2θ)・・・(2)　sin2θ=2tanθ(1+tan^2θ)・・・(3)が成り立つ。

これに(1)のtanθ=1/2を代入すると、(2)はcos2θ=(1-1/4)/(1+1/4)=(3/4)/(5/4)=3/5　となり、
(3)はsin2θ=2tanθ(1+tan^2θ)=2×(1/2)/(1+1/4)=4/5　となる。ゆえに
(cos2θ　　sin2θ)
(sin2θ　 -cos2θ)
=
(3/5　　4/5)
(4/5　 -3/5)　「別回答終わり」

◎「定理１」の証明
最初の問題の回答と同様です。2倍角の公式を用います,点P(x、y)が直線Lによって、点Q(X、Y)に
移されたとしよう。線分PQの中点Mは((X+x)/2,(Y+y)/2)でこれが直線L上にあるから、
(Y+y)/2=tanθ(X+x)/2　つまりY+y=tanθ(X+x)　・・・(4)　次に線分PQ⊥Lだから
傾き　(Y-y)/(X-x)=-1/tanθ　すなわち　Y-y=-(1/tanθ)(X-x)　・・・(5)。(4)(5)をX,Yの方程式
と思って、(4)-(5)　(tanθ+1/tanθ)X+(tanθ-1/tanθ)x=2y　ゆえに
(sinθ/cosθ+cosθ/sinθ)X+(sinθ/cosθ-cosθ/sinθ)x=2y
(1/(sinθcosθ)X-(cos^2θ-sin^2θ)/(sinθcosθ)x=2y　よって
X=(cos2θ)x+(2sinθcosθ)y　つまり　X=(cos2θ)x+(sin2θ)y　・・・(6)　このとき、(4)から
Y=tanθ((cos2θ)x+(sin2θ)y+x)-y=xtanθ(1+cos2θ)-y(1-tanθsin2θ)
=xtanθ(2cos^2θ)-y(1-tanθ2sinθcosθ)=(2sinθcosθ)x-(1-2sin^2θ)y
=(sin2θ)x-(cos2θ)y　すなわち　Y=(sin2θ)x-(cos2θ)y　・・・(7)　こうして(6)(7)より

X=(cos2θ)x+(sin2θ)y　・・・(6),Y=(sin2θ)x-(cos2θ)y　・・・(7)　となって証明された。

お礼

詳細なご回答をどうもありがとうございました。証明の持って行き方も、よく分かり
とてもすっきりしました。どうやって証明するのか、ピンと来ませんでしたが、座標変換の行列と
対称変換の行列が同じになることを示せばよいわけですね。私はｙ＝1/2ｘという直線の式を
誘導するする解法にこだわったので、手に負えなくなりました。

回答No.4

kup3kup3

こんにちは。#3です。ワープロミスがありました。すみません。ANO3の「別回答」のところで
sin2θ=2tanθ(1+tan^2θ)とありますが、これは間違いです。　cos^2θ=1/(1+tan^2θ)ですので、
正しくは　sin2θ=2tanθ/(1+tan^2θ)です。以下同様に訂正してください。これに直して
「別回答」を読んでください。以上です。

回答No.2

f272

「点（１，３）を点（３、－１）に、点（１，２）を点（-１，２）に移す１次変換」と「ｙ＝（１／２）ｘに関する対称移動」とが同じものであることを言えばいいけど，言えないよね。
「点（１，３）を点（３、－１）に、点（１，-２）を点（-１，２）に移す１次変換」と「ｙ＝（１／２）ｘに関する対称移動」とは同じものであるけど。

回答No.1

Tacosan

「点（１，３）を点（３、－１）に、点（１，２）を点（-１，２）に移す１次変換」と「ｙ＝（１／２）ｘに関する対称移動」とが同じものであることを言えばいい.