ｌｉｍ［ｘ－＞∞］√x の極限値は存在する

質問

ｙ＝√ｘとおく。
微分してｙ’＝１／（２√ｘ）　
ｌｉｍ［ｘ－＞∞］ｙ’＝０
ｙのグラフの傾きは、ｘが大きくなるに従って０に近づくから、
ｌｉｍ［ｘ－＞∞］ｙ＝０。
と説明されて、反論できませんでした。
たたみかけるように、例として、ｌｉｍ［ｘ－＞∞］１／ｘ＝０で１／ｘの極限値は存在する。
微分すると－１／ｘ^2 で［ｘ－＞∞］とすると、０となり傾きが０に近づくと。
しかし、√ｘは無限に発散する。説明のどこの部分で反論できたのか、教えてください。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「傾きが 0 になる」からといって「収束する」とは限らない. 確かに「x→∞ で有限値に収束する」なら「傾きが 0 になる」のは正しいが, その逆が必ずしも成り立つとは限らない.
さらにいえば
「ｌｉｍ［ｘ－＞∞］ｙ’＝０ だから ｌｉｍ［ｘ－＞∞］ｙ＝０。」
については明らかにおかしい. y = 5 という関数でも前半は成り立つでしょ?

お礼

回答ありがとうございます
逆は成り立たないことが、ｙ＝５の反例から分かりますが、
√ｘの場合をちゃんと証明するのは、大変なような気がするが・・・・

回答No.2

tmpname

一応補足しておきますが、lim[x->∞] f(x)は収束値を持つ, f(x)は[0, ∞)で
微分可能だからといって、lim[x->∞] f'(x) = 0が成り立つとは限りません
（x->∞でf(x)が収束するからといって傾きが0になるとは限らない）

例としてf(x)=(1/x) * sin(x^3)とおくと明らかにf(x)はx->∞で0に収束します。
しかしf'(x)はx->∞で収束せず、それどころか（曖昧な言い方になりますが）
f'(x)の振動の激しさはどんどんひどくなります。

x->∞で傾きが0になるからといってf(x)が有限値に収束するとは
限らないというのはその通りです。

お礼

回答ありがとうございます
ｙ＝５以外に、ｘ->∞で傾きが0になるからといってf(x)が有限値に収束するとは
限らない例はどんなのがあるのかな・・・
頭の中をよく整理して考えたいと思います