数学の別解

質問

2009年の一橋大学の問題です。

（問題）
(1)任意の角θに対して、-2≦xcosθ+ysinθ≦y+1 が成立するような点(x,y)の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。
(2)任意の角α、βに対して、-1≦x^2cosα+ysinβ≦1 が成立するような点(x,y)の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。

学校で配布されている参考書の演習問題のページに乗っていた問題なのですが、合成するのが定石のようです（現に私もそう解きました）
ですが、cosθをX、sinθをYと置いて領域として解く方法もあると書いてありました。
要するに、

Xx+Yy+2≧0
Xx+Yy-y-1≦0
X^2+Y^2=1

を満たすX,Yを図示するというものです。
しかし、X,Yを定数扱いすると分かっていながらも、実際解くと行き詰ってしまいます。
この解法で処理する方法をお教え下さい。

回答No.3

mister_moonlight

＞合成するのが定石のようです（現に私もそう解きました）
＞ですが、cosθをX、sinθをYと置いて領域として解く方法もあると書いてありました。

cosθ＝α、sinθ＝β　とすると、α＾2＋β＾2＝1.‥‥(1)
xcosθ+ysinθ　→　xα+yβ＝k　‥‥(2)　は直線。従って、(1)と(2)が実数解を持つと良い。
後は、点と直線との距離の公式を使うだけ。

しかし、これは見かけが違うだけで、本質的には“合成する方法”と大して変わらないよ。

(別解)
tanθ/2＝mとすると、cosθ＝(1-m＾2)/(1+m＾2)、sinθ＝(2m)/(1+m＾2)だから、mの2次不等式が常に成立する条件を求める事になる。
mは全ての実数だから、判別式だけで解決する。

(注)
(2)　任意の角α、βに対して、-1≦x^2cosα+ysinβ≦1

これは、座標も、合成も、上の別解も効かない。
さて、どうするか？

お礼

根本的なことは変わらないわけですね…。
難しく考えすぎていたのでしょうか。
やはり素直に合成するのが得策なようですね。
ありがとうございました。

回答No.2

kacchann

>Xx+Yy+2≧0
>Xx+Yy-y-1≦0
>X^2+Y^2=1

>を満たすX,Yを図示するというものです。

そうではなく、
「Xx+Yy+2≧0
Xx+Yy-y-1≦0
X^2+Y^2=1
がすべてのX,Yに対し成立するようなx,yの条件を求める」(A)

だと思います。
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で、このAはどのように考えていけばいいのか？
ヒントとしては、
変数が4つあると考えると
わけわからないので、
とりあえずx,yは定数とみて考えてみて。
そうすれば「よくある、XY座標平面上のグラフの問題」
に帰着できそうな気も。円と直線だけだし。
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Xx+Yy+2＝0をグラフ(1)
Xx+Yy+2≧0を不等式(1)
Xx+Yy-y-1＝0をグラフ(2)
Xx+Yy-y-1≦0を不等式(2)
X^2+Y^2=1をグラフ(3)
とすれば
あとはXY座標平面のグラフ上で考えれば、
(A)は
感覚的に言えば、
「グラフ(1)とグラフ(2)の間に
グラフ(3)が完全に収まる」
ということだから、
これはつまり・・・、
「グラフ(3)がグラフ(1)(2)の両方と交点をもたず、
原点が不等式(1)(2)の両方を満たす」
と言い換えられるのかな？

あんまり厳密にチェックしてませんけど。

お礼

なるほど…。問題の意図自体を取り違えていました。
定数扱いをする問題はよく見ますが、いざ解いてみると難しいものですね。
もう一度考え直してみます。ありがとうございました。

回答No.1

noname#235638

http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-date-200904-3.html

何かの参考になるかもしれません

お礼

この解法とは別のものなのです。