計算で行き詰まっています。教えていただけませんか。

質問

↑g=－(μ/r^3)↑rのとき、
∂↑g/∂↑r=(-μ){(∂↑r/∂↑r)・(r^3)-(↑r)・3r^2(∂r/∂↑r)}/r^6…(1)
になるのはどうしてですか？計算過程も一緒に示していただけませんか。
困っています。どうかよろしくお願いします。ライプニッツの公式でやろうとしたのですが、初めて見る公式でよくわかりませんでした。ライプニッツ以外のやり方でもいいので教えてくれませんか。

回答No.4

alice_44

↑g=－(μ/r^3)↑rのとき、
∂↑g/∂↑r = (-μ){E・(r^3) - (↑r)・3r^2(∂r/∂↑r)}/r^6

行列を求めるんですよね。成分ごとに計算してみたら、どうですか？
∂g_j/∂r_k = (∂/∂r_k){ -μ(r^-3) r_j }　　←第 j 行 k 列成分を考える
= { -μ(-3)(r^-4)(∂r/∂r_k) r_j } + { -μ(r^-3) (∂r_j/∂r_k) }　　←積の微分則

最右辺の第 1 項第 2 項を左右入れ替えて、-μ(r^-6) を括り出せば、
∂g_j/∂r_k = -μ(r^-6){ (r^3) (∂r_j/∂r_k) - 3(r^2)(∂r/∂r_k) r_j }　
となります。

第 k 列が ∂r/∂r_k となる行ベクトルは ∂r/∂↑r だし、
∂r_j/∂r_k は、クロネッカーのデルタ δ_j,k だから、単位行列 E ですよね。

これをベクトルと行列の積で書くときに、第 2 項の書きかたには少し注意が必要で、
3r^2(∂r/∂↑r)・(↑r) と書いたら内積の意味になってしまいますから、
第 j 行 k 列成分が 3(r^2)(∂r/∂r_k) r_j となるように
(↑r)・3r^2(∂r/∂↑r) と書いてあるのです。
ここが解りにくいようなら、(列ベクトル)・(行ベクトル) という形の行列積について
線形代数の入門書で確認してください。(高校の教科書にも、ひょとしたら出てるかも)

回答No.3

ereserve67

http://okwave.jp/qa/q7736893.html

において詳しく計算しておいたのですが．今回質問者様が掲げている表式

∂↑g/∂↑r=(-μ){(∂↑r/∂↑r)・(r^3)-(↑r)・3r^2(∂r/∂↑r)}/r^6

において，おそらく∂r/∂↑rは↑r^T/rのことを，∂↑r/∂↑rはE_3(3次の単位行列）のことであると思われます．すると，

∂↑g/∂↑r=-μ(r^3E_3-3r^2↑r↑r^T/r)/r^6=-μ(E_3/r^3-3↑r↑r^T/r^5)=-μ(r^2E_3-3↑r↑r^T)/r^5

となります．まずTと言う記号は行列の転置を表す記号で

↑r↑r^T

は3行1列（成分は上からx_1,x_2,x_3）の列ベクトル↑rとその転置行列である1行3列（成分は右からx_1,x_2,x_3）の行列積で結果は3次正方行列になり，その(i,k)成分はx_ix_kです．これは紙に書けばすぐわかります．次に，3次の単位行列E_3の(i,k)成分はよく知られているようにクロネッカーδ_{ik}です．

したがって，

(∂↑g/∂↑r)_{ik}=∂g_i/∂x_k=-μ(r^2δ_{ik}-3x_ix_k)/r^5

となるのです．これは3次正方行列です（物理では2階テンソルということが多いです）．↑g=-μ↑r/r^3（μは定数）のときどうしてこうなるかは，最初に挙げたURLをみて下さい．そんなに難しい計算は行っていません．ライプニッツの公式もいりません．大学1年程度のベクトルと行列と微分の計算力があればできます．

なお，(∂↑g/∂↑r)_{ik}におけるテンソル3x_ix_k-r^2δ_{ik}は，電磁気学における4重極モーメント・テンソルの本質的な部分と全く同じ形です．

回答No.2

noname#163178

そんな公式はありません。

http://okwave.jp/qa/q7736893.html
に書いたように間違ってるんですよ。
わからなくて当然。

回答No.1

178-tall

物理の微分？　すご腕ですね。

>↑g=－(μ/r^3)↑rのとき、
∂↑g/∂↑r=(-μ){(∂↑r/∂↑r)・(r^3)-(↑r)・3r^2(∂r/∂↑r)}/r^6…(1)
になるのはどうしてですか？

r ベクトル関数をベクトル r で微分すると、スカラーになりそうですが。

r ベクトルを (>r)、その絶対値を r と表記してみます。
　g(>r) = (>r)/|r|^3
を (>r) と |r|^3 の積に分けて (形式的に (>r) で) 微分を強行してみる。

　{d(>r)/(d>r)}*(1/r^3) + (>r)*{d(1/r^3)/(d>r)}

あとの項が、
　(>r)*{d(1/r^3)/(dr)}{dr/(d>r)} = -(3r^2/r^6)*(>r){dr/(d>r)}
で (1) に対応。