計算で困っています。

質問

重力加速度
↑g=－(μ/r^3)↑rは
∂↑g/∂↑r=(－μ)1/r^6(1・r^3－↑r・3・r^2・↑r^T/r)
　　　=－μ/r^6(r^3・1－3r(↑r・↑r^T))
と展開できるようですが、これはどういった計算をしているのでしょうか？
途中計算を交えて教えて頂けると助かります。どうかよろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

あまりこういう表現は使わないのですが，ベクトルをベクトルで微分して2階テンソルになっているようですね．結果は事実上行列となっています．成分でやると分かります．

f(r)=-μr^{-3}

とおくとこれはr=√(x_1^2+x_2^2+x_3^2)の関数です．合成関数の微分法則から

∂f(r)/∂x_k={df(r)/dr}∂r/∂x_k=f'(r)x_k/r

ここで力学や電磁気学では

∂r/∂x_k=x_k/r

は公式です．一応証明しておくと，

∂r/∂x_k=∂(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{1/2}/∂x_k=(1/2)(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-1/2}2x_k=x_k/r

さて↑g=f(r)↑rのi成分g_i=f(r)x_iをx_kで微分すると，∂x_i/∂x_kがクロネッカーのデルタδ_{ik}になることに注意して

∂g_i/∂x_k={∂f(r)/∂x_k}x_i+f(r)∂x_i/∂x_k=f'(r)x_ix_k/r+f(r)δ_{ik}

これにf(r)=-μr^{-3}を代入すると，f'(r)=3μr^{-4}より

∂g_i/∂x_k=3μr^{-4}x_ix_k/r-μr^{-3}δ_{ik}=-μr^{-3}δ_{ik}+3μr^{-5}x_ix_k

となります．２階テンソル（行列）ですね．δ_{ik}が単位行列１の(i,k)成分，x_ix_kは行列↑ｒ・↑ｒ^Tの(i,k)成分となります．

※↑ｒを３行１列の行列とみると，↑r^Tは１行３列の行列になるから，行列積↑ｒ・↑ｒ^Tは３行３列の３次正方行列になり，その(i,k)成分はx_ixkになる．

回答No.2

noname#163178

結論からいうとその式は間違っています。

一般にベクトルを変数にもちベクトル値をもつ関数ｆのベクトルａにおけるベクトルeへの方向微分（∂ｆ／∂e）（ａ）は、０を含む実数の開区間で定義された関数φをφ（ｔ）＝ｆ（ａ＋ｔｅ）により定義したときのφ’（０）で与えられます。すなわち（∂ｆ／∂e）（ａ）＝φ’（０）です。

これに沿ってa＝↑ｒ、ｅ＝↑ｒとみて、ｒ＝√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋・・・＋ｚ＾２）、↑ｒ＝（ｘ，ｙ，・・・，ｚ）＾Ｔというように成分を使ってそれぞれの成分ごとに計算します。成分ごとに商の微分法を使います。まとめると、

∂↑g/∂↑r＝－（μ／ｒ＾６）（ｒ＾３－３ｒ（（（↑ｒ）＾Ｔ）（↑ｒ）））↑ｒ

となります。つまり、引用の画像の式にある（↑ｒ）（（↑ｒ）＾Ｔ）だと行列になってしまいますし、↑ｒが抜けているようです。