数列の問題です

質問

数列 1, 3/3, 5/3^2, 7/3^3, 9/3^4, ・・・・・・
(1)第n項を求めよ。
(2)初項から第n項までの和を求めよ。

言葉なども使って丁寧に教えていただけたら嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(1)第n項を求めよ。
＞分子は1,1+2,1+2+2,1+2+2+2...だから
1,1+2*1,1+2*2,1+2*3,1+2*4,.....1+2*(n-1)=2n-1
分母は3^0,3^1,3^2,3^3,3^4,.....3^(n-1)
よって第n項は(2n-1)/3^(n-1)・・・答
(2)初項から第n項までの和を求めよ。
S=1+3/3+5/3^2+7/3^3+9/3^4+.....+(2n-1)/3^(n-1)とおくと
S/3=1/3+3/3^2+5/3^3+7/3^4+9/3^5+.....+(2n-1)/3^n
辺々マイナスすると
S-S/3=1+2/3+2/3^2+2/3^3+2/3^4+.....+2/3^(n-1)-(2n-1)/3^n
=1+(2/3)*{1+1/3+1/3^2+1/3^3+.....+1/3^(n-2)}-(2n-1)/3^n
ここで1+1/3+1/3^2+1/3^3+.....+1/3^(n-2)は公比1/3の
等比数列の和だから、その公式により{3-(1/3)^(n-2)}/2
よってS-S/3=1+(2/3)*[{3-(1/3)^(n-2)}/2]-(2n-1)/3^n
=1+1-(1/3)^(n-1)-(2n-1)/3^n=2-3/3^n-(2n-1)/3^n=2-2(n+1)/3^n
左辺はS-S/3=(2/3)SだからS=3-(n+1)/3^(n-1)・・・答

お礼

とても参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.5

noname#200770

ｎが５以下の場合の第ｎ項が示されていますが、第６項目以降を決定するための条件が見当たりません。

たとえばｎ≧６のとき第ｎ項はすべて０かもしれません。

ですので、ｎ≦５のときは（１）は明らかで（２）は素直に足し算すればいいのですが、ｎ≧６のときは第ｎ項はもちろん、初項から第ｎ項までの和は不明としかいいようがありません。

回答No.4

noname#215361

ANo.2の補足です。

(2)初項から第n項までの和
Sn=（3/2）｛2-1/3^（n-1）-（2n-1）/3^n｝
これを展開して整理すると、次のようになります。
Sn=（3/2）｛2-1/3^（n-1）-（2n-1）/3^n｝
=3-3/｛2*3^（n-1）｝-（2n-1）/｛2*3^（n-1）｝
=3-｛3+（2n-1）｝）/｛2*3^（n-1）｝
=3-（2n+2）/｛2*3^（n-1）｝
=3-2（n+1）/｛2*3^（n-1）｝
=3-（n+1）/3^（n-1）

お礼

参考にさせていただきました。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#215361

(1)第n項
分母は、初項1、公比3の等比数列
分子は、初項1、公差2の等差数列
よって、第n項は（2n-1）/3^（n-1）

(2)初項から第n項までの和
初項から第n項までの和をSnとすると、
S4=1+3/3+5/3^2+7/3^3
（1/3）*S4=1/3+3/3^2+5/3^3+7/3^4
S4-（1/3）*S4
=（2/3）S4
=1+2/3+2/3^2+2/3^3-7/3^4
ここで、2/3+2/3^2+2/3^3は、初項2/3、公比1/3の等比数列の初項から第3項までの和になるから、
2/3+2/3^2+2/3^3
=(2/3)（1-1/3^3）/（1-1/3）
=(2/3)（1-1/3^3）/（2/3）
=1-1/3^3
これから、
（2/3）S4=1+1-1/3^3-7/3^4=2-1/3^3-7/3^4
S4=（3/2）（2-1/3^3-7/3^4）
同様に、
Sn=（3/2）｛2-1/3^（n-1）-（2n-1）/3^n｝

回答No.1

aokii

じっと眺めて、規則を考えると、
（1+2×（ｎ-1））/3＾（ｎ-1）