ボールに収縮力がはたらいたとき

質問

水平面上を半径aのボールが転がっていてある地点で急に半径bになったとき（b<a)転がる並進速度、回転角速度は何倍になるのですか？また運動エネルギーの変化量は？原因とともに教えてください。

回答No.3

TCM · ベストアンサー

下記のように考えてみましたが、dattiさんもいっしょに考えてください。
　課題に条件を付加させてください。球は滑ることなく転がり、球には外力が働かず、摩擦などによるエネルギの散逸がないものとします。また、球の密度は一様で、質量をｍとします。さらに半径変化の前後で質量の変化はないものとします。
　まず、半径ａの球が重心の周りに角速度ωで転がっているときの並進速度ｖは、frankさんのご説明にもあるように、
　ｖ＝ａω　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
となります。このとき、球の運動エネルギＥは、
　Ｅ＝(１／２)ｍｖ^２＋(１／２)Ｉω^２　
　　＝(７／１０)ｍａ^２ω^２　　　　　　　　　　　(2)
と表すことができます。ここで、Ｉは重心の周りの慣性モーメントで
　Ｉ＝(２/５)ｍａ^２　　　　　　　　　　　　　　　(3)
です。
　次に、球の半径がｂになったときの角速度ω’は、角運動量保存則から、
　ω’＝Ｉω／Ｉ’　　　　　　　　　　　　　　　　(4)
です。ここで、重心の周りの慣性モーメントＩ’は、
　Ｉ’＝(２/５)ｍｂ^２　　　　　　　　　　　　　　(5)
ですから、式(3)、(4)、(5)から角速度ω’は、
　ω’＝(ａ^２／ｂ^２)ω　　　　　　　　　　　　　(6)
と表すことができます。このときの並進速度ｖ’は、
　ｖ’＝ｂω’
　　　＝(ａ／ｂ)ｖ　　　　　　　　　　　　　　　　(7)
となります。このとき、球の運動エネルギＥ’は、
　Ｅ'＝(１／２)ｍｖ'^２+(１／２)Ｉ'ω'^２　　　　(8)
ですから、これを変形すると、
　Ｅ'＝(ａ^２／ｂ^２)(７／１０)ｍａ^２ω^２　　　(9)
となります。
　しかし、以上が正しいとすると、式(2)、(9)より球の運動エネルギが半径変化の前後でａ^２／ｂ^２倍になるわけで不自然です。中途半端な形で回答するのは情けない限りですが、考え方の例を挙げ、ごいっしょに勉強するということでお許しください。回答者の方々も間違いのご指摘お願いします。

回答No.5

TCM

運動エネルギの変化が不自然と書いたのは、外部から仕事をなされていないのに系のエネルギが変化するからという意味だったのです。しかし、よく考えてみると半径を変化させるときに遠心力に抗して仕事をおこなっているはずですね。だからおかしくはなさそうです。ということで#3を正式な回答ということにいたします。
　遠心力に抗して行った仕事とＥ'＝(ａ^２／ｂ^２)Ｅによって与えられるエネルギの変化分はちゃんとバランスすると思いますが、これはdattiさんの宿題として残しておきますね。

回答No.4

frank

すいません訂正です
２番目に解答をしたfrankですが、計算に間違いがありました
「角速度w'が(a^5/b^5)wとなる」と書きましたが
(a^2/b^2)wの間違いです
並進速度は(a/b)となり
球殻の場合も同様の比になると思います
単純な計算間違いで惑わせてしまってすいませんでした

お礼

皆さん、ありがとうございました。
運動エネルギーの変化が不自然　とありましたが
自分は感じなかったんですけど・・・。

回答No.2

frank

aのx乗をa^xと表現して説明します
このボールが中がつまった球か、中が空の球殻かで答えは変わってくるのですが
いちおう中がつまった球として考えてみましょう

フィギュアスケーターが体を回転するときには角運動量保存に従っています
手を縮めると回転が速くなり、広げると遅くなりますね

角運動量保存則を使うと縮まる前の角速度をwとすると
ボールが縮まった後の角速度w'が(a^5/b^5)wと求まります
これより並進速度v=rw[rは半径]は(a^4/b^4)倍になります
ここで並進速度をrwとしましたが、これは球形の物体が転がるときの回転速度は並進速度と同値であることによるものです
だってxだけ回転すると、接地している点はxだけ進むんですから(こんな説明でわかりますかね)
運動エネルギーの変化はきれいな数字が出ないので聞いてもしょうがないと思います
どうしても知りたかったら運動エネルギー＝並進運動エネルギー　＋　回転運動エネルギーで求めてください
ただし、ここでの計算で慣性モーメントを使って計算することを忘れないように
力学の本でも見ながらがんばってください

ちなみにボールが球殻だった場合
角速度が(a^4/b^4)
回転速度が(a^3/b^3)となります

計算間違いがあるかもしれないので、自分でも計算してみてください

回答No.1

noname#58

間違っているかもしれませんが。

並進速度は変わらないと思います。ボールそのものの進む距
離は、ボール１回転につき外周の長さ分ですから。半径の長
さがb/aになれば、外周もb/aになりますから。

回転角速度はa/bだと思います。aの半径を持つボールが１回
転する毎に、bの半径を持つボールはa/b回転しますから。

運動エネルギーは、速度が変わらないので、半径の３乗に比
例すると思います。（体積に比例）

間違っていたらごめんなさい。