力学 衝突と運動量保存則
水平で滑らかな床の上に質量mの箱が静止している。初め、箱の中には右側の内側に接するように質量mの直方体上の物体が静止している。このときの物体の左端と箱の左側の内壁との距離はLである。この状態から箱を打撃して瞬時的に箱に速度V0(>0)を与えた後の運動について調べる。ただし、速度は床に対する値で表すものとし、右向きを正とする。また、重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗は無視できるとする。
(1)
まず、箱と物体の間に摩擦がなく、箱の内壁と物体の間のはね返り係数がe (0<e<1)の場合について考える。この場合、箱と物体は衝突を繰り返す。箱と物体の第n回目の衝突直後の箱の速度をVn,物体の速度をvnとすると、Vn,vn,V(n-1),v(n-1),eの間には、e=-(Vn-vn)/{V(n-1)-v(n-1)}の関係が成り立つことから、Vn,vn,V0,e,nの間には、Vn-vn=V0(-e)^nの関係が成り立つことがわかる。また運動量についての考察より、Vn,vn,V0の間には、Vn+vn=V0の関係が成り立つことがわかる。以上より、Vn,vnはそれぞれ、V0,e,nをもちいて、Vn={Vo+V0(-e)^n}/2,vn={V0-V0(-e)^n}/2と表される。このことから、十分に時間が経つと、箱と物体の速度は共にV0/2となることがわかる。また、箱に初速度V0を与えてから十分に時間が経つまでの間にの箱と物体からなる系の力学的エネルギーの変化量は -(mV0^2)/4である。
(2)
次に、箱の内壁と物体との衝突は弾性的(はね返り係数=1)であり、箱の内側の底面と物体の間に摩擦がある場合について考える。箱を打撃して、瞬時的に箱に速度V0を与えると、物体は箱に対して滑り始める。以下では、箱と物体の間の動摩擦係数をμとする。この場合でも、十分に時間が立つと箱の速度と物体の速度は等しくなる。箱に初速度を与えてから十分に時間が経つまでの間の、箱と物体からなる系の力学的エネルギーの変化量は -(mV0^2)/4である。
(2)では、十分に時間が立つと箱と物体の速度は等しくなるといっていますが、(1)のようにはね返り係数と運動量保存則から、Vn,vnを求めて、nを∞にとばしてもVn=vn=V0/2という結果は得られませんでした。以下が導出過程です。
はね返り係数1= - (Vn-vn)/{V(n-1)-v(n-1)}より、Vn-vn=-{V(n-1)-v(n-1)}だから、
Vn-vn=(-1){V(n-1)-v(n-1)}=(-1)^2{V(n-2)-v(n-2)}=・・・={(-1)^n}(V0-v0)=V0(-1)^n
よってVn-vn=V0(-1)^n
また、運動量保存則よりVn+vn=V0
∴ Vn={V0+V0(-1)^n}/2,vn={V0+V0(-1)^n}
∴ lim[n→∞]Vn=V0,0 lim[n→∞]vn=V0,0
(-1)^∞は、-1,1のどちらかなので、VnはV0または0、vnはV0または0になると思います。(-1)^∞が-1と1になりうる確率(?)が50%ずつだから、V0と0の真ん中をとってV0/2にしたということですか?