高校数学B の ベクトル の分野の証明問題で、分からない問題があります

質問

高校数学B の ベクトル の分野の証明問題で、分からない問題があります。解き方を教えていただけませんか？

その問題は

３点 O（０,０）、A（a1,a2）、B（b1.b2） を頂点とする△OABの面積Sは、次の式で表わされることを示せ。

S＝１/２l a1b2-a2b1 l

a1b2-a2b1を囲っている、l l は、絶対値の記号です。

手も足も出ずに困っています。明日、黒板に解答を書かなければならないので、分からなかったことにすることもできません。

解き方の分かる方、ぜひ教えてください。お願いします。

回答No.2

OKXavier · ベストアンサー

A,Bの位置ベクトルを
a=(a1,a2)
b=(b1,b2)
とします。
矢線は見にくくなるので省略します。適宜自分で付けて下さい。

a,bのなす角をθ
とすると、

S=(1/2)|a||b|sinθ　‥‥(1)

また、内積　a・b=|a||b|cosθ
これから、
cosθ=(a・b)/|a||b|

これから、sinθ　をつくり、(1)へ代入して、

S=(1/2)√((|a||b|)^2-(a・b)^2)　‥‥(2)

これを成分で計算すれば求める式になります。
こまかな計算は自分でやってみるように。

回答No.1

alice_44

A, B を極座標表示で
(a1, a2) = (a cosθ, a sinθ),
(b1, b2) = (b cosφ, b sinφ)
と書き換えてごらんなさい。

図を描けば、
S = (1/2) a bsin｜θ-φ｜
であることが見えてくると思います。

あとは、sin の加法公式を使うだけ。