ベクトルの問題です。

質問

ベクトルの問題がわかりません。
とても急いでいるので協力してください。

三点ＡＢＣの定点Ｏに関する位置ベクトルをベクトルa,ベクトルｂ、ベクトルｃが、
ベクトルa+ベクトルｂ+ベクトルｃ=０ベクトル
それぞれのベクトルの大きさは等しい。(キ０）
このとき三角形ＡＢＣはどのような形になるか。

という問題です。
答えは正三角形なんですけど、ベクトルを用いて解くことができません。
お願いします。

回答No.3

hismix · ベストアンサー

＜エレガントに解きましょう＞
三角形の形を求めればいいので
|→a|=|→b|=|→c|=1,→a=(1,0,0)
としても一般性は失われない
今、→a＋→b＋→c＝０より
→b＋→c＝(-1,0,0)・・・(1)
両辺を２乗すると
|→b|^2+|→c|^2+2|→b||→c|cos∠BOC=1+0+0
よって
1+1+2cos∠BOC=1
cos∠BOC=-1/2 つまり∠BOC=120°
今A,B,Cは半径１の円周にあるので
∠BAC=(1/2)∠BOC=60°・・・(2)

また(1)より→bと→cのy成分の絶対値は等しいので
∠BOA=∠COA
これと(2)よりΔABCは正三角形になる （証明終）

お礼

ほんとにエレガントでびっくりしました。
こーゆー考え方があるんですねー。
助かりました。
なんか、ベクトル面白くなってきました。
ありがとうございました。

回答No.2

MSZ006

ABベクトル、BCベクトル、CAベクトルの大きさが全部同じであることを示せばよいので、
(1)|AB|^2=|b-a|^2=|b|^2+|a|^2-2a・b
(2)|BC|^2=|c-b|^2=|c|^2+|b|^2-2b・c
(3)|CA|^2=|c-a|^2=|a|^2+|c|^2-2c・a
(1)＝(2)＝(3)を示せばよいことになります。

題意より|a|=|b|=|c|なので結局、
a・b = b・c = c・a
を示せばよいことになります。そこで、
|a|^2=|-b-c|^2=|b|^2+|c|^2+2b・c
変形して
b・c=(|a|^2-|b|^2-|c|^2)/2

|a|^2=|b|^2=|c|^2 = K とおくと

b・c=-K/2

|b|^2 と |c|^2　でも同じ計算をして

c・a=-K/2
a・b=-K/2

よって　a・b = b・c = c・a
故に(1)＝(2)＝(3)で三角形ABCは正三角形であると証明できます。

回答No.1

upsilon4s

ヒントだけ。

a + b + c = 0
の式を少し変形して両辺２乗すると、、、