極限の問題の解き方が分かりません

質問

関数 f (x) = sin (1/x)に対して,極限 lim f (x) (x→0) は存在するか.という問題の解き方が分かりません。どなたか分かる方がいらっしゃいましたら教えてください。

回答No.2

alice_44

lim[x→0] sin(1/x) は、収束しません。
それを証明するには、
0<x<ε の ε をどれだけ小さくしても、
その範囲で sin(1/x) が様々な値をとる
ことを示せばよいです。

例えば、
sin(1/x)=1 となる x は x=1/{(π/2)+2kπ} (k は整数)
sin(1/x)=-1 となる x は x=1/{(-π/2)+2kπ} (k は整数)
ですが、これらはどちらも
ε をどれだけ小さくした 0<x<ε にも必ず含まれています。
(k の値を、必要に応じて大きくとればよい。)
よって、x→0 において sin(1/x) は
ただひとつの値に近づくことができません。

回答No.1

ShowMeHow

sin(θ) は一定の周期で-1から1の間を行ったりきたりするので、
θがどれだけ大きくなっても何らかの値に収束するものではありません。