極限の問題の解き方が分かりません

質問

関数 f (x) = sin (1/x)に対して,極限 lim f (x) (x→0) は存在するか.という問題の解き方が分かりません。どなたか分かる方がいらっしゃいましたら教えてください。

回答No.2

alice_44

lim[x→0] sin(1/x) は、収束しません。
それを証明するには、
0<x<ε の ε をどれだけ小さくしても、
その範囲で sin(1/x) が様々な値をとる
ことを示せばよいです。

例えば、
sin(1/x)=1 となる x は x=1/{(π/2)+2kπ} (k は整数)
sin(1/x)=-1 となる x は x=1/{(-π/2)+2kπ} (k は整数)
ですが、これらはどちらも
ε をどれだけ小さくした 0<x<ε にも必ず含まれています。
(k の値を、必要に応じて大きくとればよい。)
よって、x→0 において sin(1/x) は
ただひとつの値に近づくことができません。

補足

証明もお願いします

回答No.1

info22_

x→+0又はx→-0のとき sin(1/x)は
-1≦ sin (1/x)≦1
の値を取るが、値は振動して確定しない。
従って
x→±0でsin(1/x)は特定の値に収束しない。
つまり、極限値は存在しない。
ことになります。

補足

証明もお願いします