一次形応答の微分方程式の解き方を教えてください

質問

以下のような問題の微分方程式の解き方がわかりません。

一次形の応答を示す計測器のガラス温度計を考える。
今、温度xの液体中にガラス製の温度計を浸したとき
温度計の指示値がxになるまでに時間必要とする。
このとき、温度計の指示値yの時間tに対する変化の割合、すなわちdy/dtが
液体の温度xと温度計の温度yとの差に比例するならば

τ*dy/dt + y = x　　（τは時定数）

が成立する。

これをとくと

y = x{1-exp(-t/τ)}

となる。

この微分方程式の解き方がわかりません。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

τ≠0とします．
初期条件がありませんが，解がy(t)=x(1-e^{-t/τ})となるなら，y(0)=0ですがそれでよいのですか．明示されていませんので初期条件未定のまま解きます．

いわゆる変数分離で解きます．

τdy/dt+y=x τdy/dt=-(y-x) dy/(y-x)=(1/τ)dt　∴-∫dy/(y-x)=(1/τ)∫dt -log|y-x|=(1/τ)t+C　（Cは積分定数）

log|y-x|=-t/τ+C |y-x|=e^{-t/τ+C }=e^Ce^{-t/τ } y-x=±e^Ce^{-t/τ }

ここでA=±e^Cとおくと，y-x=Ae^{-t/τ}すなわち

y(t)=x+Ae^{-t/τ}

A=0としたときy(t)=xとなりますが明らかにこれも解です．だからAは任意定数としてよいです．

t=0とするとy(0)=x+A,A=y(0)-xこうして

y(t)=x+{y(0)-x}e^{-t/τ}

となります．y(0)=0ならy(t)=x(1-e^{-t/τ})となります．

お礼

丁寧に解説いただきありがとうございました。
初期条件が設定されていませんでしたが、y(0)=0で良さそうでした。
ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

微分方程式の両辺に exp(t/τ) を掛けてから、
両辺を t で積分しましょう。
左辺の積分が解らなければ、「積の微分」公式を
復習のこと。

お礼

アドバイスありがとうございました。
なんとか解くことができました。