微分方程式

質問

dx/dt=3y
dy/dt=x-z
dz/dt=-y

この微分方程式の解法をお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞回答No.1の続きです。
微分演算子をDと書くと、
x'''-4x'=0は(D^3-4D)x=0、D(D^2-4)x=0、
D(D+2)(D-2)x=0だから補助方程式は
h(h+2)(h-2)=0で、その解はh=0,-2,2
従ってC1、C2、C3を任意定数として、
x=C1+C2e^(-2t)+C3e^(2t)・・・答1
これをdx/dt=3yに代入して
y=(1/3)dx/dt=(1/3){-2C2e^(-2t)+2C3e^(2t)}
=-(2/3)C2e^(-2t)+(2/3)C3e^(2t)・・・答2
これらをdy/dt=x-zに代入して
z=x-dy/dt=C1+C2e^(-2t)+C3e^(2t)-{(4/3)C2e^(-2t)+(4/3)C3e^(2t)}
=C1-(1/3)C2e^(-2t)-(1/3)C3e^(2t)・・・答3
(検算)
∫3ydt=∫{-2C2e^(-2t)+2C3e^(2t)}dt
=C2e^(-2t)+C3e^(2t)+C(積分定数)=x
よってdx/dt=3y
∫(x-z)dt=∫[{C1+C2e^(-2t)+C3e^(2t)}-{C1-(1/3)C2e^(-2t)-(1/3)C3e^(2t)}]dt
=∫{(4/3)C2e^(-2t)+(4/3)C3e^(2t)}dt
=-(2/3)C2e^(-2t)+(2/3)C3e^(2t)+C(積分定数)=y+C(積分定数)
よってd(y+C)dt=dy/dt=x-z
∫(-y)dt=∫{(2/3)C2e^(-2t)-(2/3)C3e^(2t)}dt
=-(1/3)C2e^(-2t)-(1/3)C3e^(2t)+C(積分定数)=z
よってdz/dt=-y
(検算終わり)

回答No.2

info222_

dx/dt=x', dy/dt=y', dz/dt=z'のように微分を「'」を使って書けば
x'=3y ...(1)
y'=x-z ...(2)
z'=-y ...(3)

(2)をtで微分し(1),(3)を代入すると
y''=x'-z'=3y+y=4y
すなわち
y''-4y=0 ...(4)
この2階線形微分方程式の解は
y=c1e^(2t)+c2e^(-2t) ...(5)
(5)を(1)に代入
x'=3c1e^(2t)+3c2e^(-2t) ...(6)
これを解くと
x=(3/2)c1e^(2t)+(3/2)c2e^(-2t)+c3 ...(7)

(5)を(3)に代入
z'=-c1e^(2t)-c2e^(-2t) ...(8)
これを解くと
z=-(1/2)c1e^(2t)+(1/2)c2e^(-2t)+c4 ...(9)

(7),(9)を(2)に代入
y'=2c1e^(2t)+c2e^(-2t)+c3-c4 ...(10)

(5)より
y'=2c1e^(2t)-2c2e^(-2t) ...(11)

(10),(11)より
c2=0, c4=c3

(5),(7),(9)に代入

(答)
x=(3/2)c1e^(2t)+c3
y=c1e^(2t)
z=c3-(1/2)c1e^(2t)
(ただし c1,c3は任意定数)

回答No.1

yyssaa

d(dx/dt)/dt=3dy/dt=3(x-z)
d(d(dx/dt)/dt)/dt=3(dx/dt-dz/dt)=3dx/dt+3y
=3dx/dt+dx/dt=4dx/dtだから
dx/dt=x'と書いて、x'''-4x'=0を解けばよい。