「コルモゴロフの0-1法則」とはどういうものなのか

質問

「コルモゴロフの0-1法則」とはどういうものなのか、数学が全くわからない人にもわかるように教えてください。。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

コインをn回投げて、そのうち表が出たのがr回だったとします。nをどんどん大きくしていったとき、r/nは1/2に収束していくでしょうか？

実は、「r/nが1/2に収束する」というのはひとつの事象であって、その確率は、0か1のどちらかです。0.2とか0.7とかの中途の値になることがありません。これは、コルモゴロフの0-1法則から導かれます。

厳密性を犠牲にして、コルモゴロフの0-1法則をくだいて言うと、次のようになります（数学が全くわからない人にもわかるように、というのは無理です）。

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[コルモゴロフの0-1法則]

X[1]、X[2]、X[3]、・・・を無限個の独立な確率変数とする（[]内は添え字を表すものとする）。Aを、これらの確率変数に関する事象とする。さらに次の条件を満たすとする。

「Aの確率は、X[1]、X[2]、X[3]、・・・のうちのどの有限個の確率変数とも無関係に定まる」

このとき、Aの確率は、0か1のどちらかである。
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なお、Aには、ちゃんと確率が定義できるなどの、追加的な条件が必要ですが、省略しました。

コルモゴロフの0-1法則から、次の命題を導くことができます。冒頭の例は、この命題からの帰結です、

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[命題]

X[1]、X[2]、X[3]、・・・を無限個の独立な確率変数とし、pを実数とする。すると、

(1/n)( X[1]+X[2]+・・・+X[n])

が、n→∞のときpに収束する確率は、0か1のどちらかである。

お礼

さっぱりわかりませんでした。