実数における交換法則について

質問

a × b = b × a
は実数では成り立ちますが、例えば行列では成り立ちません。ここで気になったのですが、実数の交換法則について数学ではどのように説明されているのでしょうか？

回答No.5

31415926

No.3に補足します．

現在の数学では全ての数学的概念は「集合論の公理」
のみから出発して定義することになっています．

で，集合論の公理から自然数を定義してその加法，乗法を定義し，
次に整数を自然数を使って定義してその加法，乗法を定義し，
次に有理数を整数を使って定義してその加法，乗法を定義し，
そして実数を有理数を使って定義してその加法，乗法を定義します．

で，実数の乗法の交換法則は自然数の場合の交換法則
(これはNo.3での定義から数学的帰納法(これも集合論の公理から導かれる定理である!)で証明するのだと思います)から，上の構成をたどることによって証明されるわけです．

つまり，全ては集合論の公理から説明できる，という
ことになります．このように全ての数学の概念は究極的には集合論により表現されています．

回答No.4

jmh

それは実数の公理の１つだと思います。

回答No.3

Tacosan

まず自然数 (0以上の整数) に対する加法とか乗法の定義から始まるんですが, 例えば加法を
a + 0 = a, a + (b+1) = (a+b) + 1
と定義すると, 自然数に対し可換かつ結合的であることが証明できます. で, 乗法についても
a * 0 = 0, a * (b+1) = (a*b) + a
と定義すればやはり可換かつ結合的であり, しかも加法に対して分配可能であることがわかります.
さらにこれを整数や有理数に拡張することもできます.
ここから先は実数を定義しないといけないのですが, 実数を何らかの方法で有理数列として定義して, さらに有理数列に対する加法や乗法を定義することで実数に対する加法・乗法を定義することができ, 最終的に実数についても可換かつ結合的であることが証明できるんじゃないでしょうか.

回答No.2

proto

以下のサイトが参考になるかも知れません

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/010gun.html

回答No.1

sunasearch

下記のサイトが、参考になるのではないでしょうか。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87

補足

早速のアドバイス、ありがとうございます。
ご紹介の乗法のページによると
＞n と m が自然数であるとき、n を m 個加えるたものと m を n 個加えたものは同じ数である。すなわち
＞交換法則: n × m = m × n
＞が成り立つ。
とあるのですが、この裏に厳密な定義があるのかということが気になっています。
当たり前といえば当たり前なんですが、この当たり前を厳密に定義するのが数学という気がしているので、この辺がどうなっているのかが気になっています。