連立方程式、の問題らしいのだが、わからない。

質問

父、母、姉、弟の４人家族です。

・４人の年齢の合計が８３歳です。
・父の６倍＝母の７倍です。
・姉の年齢の３倍＝母の年齢です。

さて、４人は、それぞれ何歳でしょう…
　という問題が、まったくわかりません。

教えていただけると助かります…・。

回答No.6

suko22 · ベストアンサー

父：ｘ歳、母：ｙ歳、姉：ｚ歳、弟：a歳とおく。

4人の合計が83歳だから、
ｘ+ｙ+ｚ+a=83（ただし、ｘ、ｙはｚとaより大きい、かつｚ＞a）・・・※1

（父の6倍）＝（母の7倍）より、
6ｘ＝7ｙ・・・※2

（姉の年齢の3倍）＝（母の年齢）より、
3ｚ＝ｙ・・・※3

※2より、ｘ：ｙ＝7：6
※3より、ｚ：ｙ＝1：3＝2：6（ｙをそろえた）

よって、ｘ：ｙ：ｚ＝7：6：2

ｘ、ｙ、ｚは年齢、すなわち正の整数だから、

（ｘ，ｙ，ｚ）＝（7，6，2）・・・このとき※1よりa=83-x-y-z=83-7-6-2=68 不適
　　　　　　　＝（14，12，4）・・・※1よりa=53 不適
　　　　　　　＝（28，26，8）・・・※1よりa=21 不適
　　　　　　　＝（35，30，10）・・・※1よりa=8　z>a他、※1のカッコ内の条件を満たしている
　　　　　　　＝（42，36，12）・・・※1よりa=-7　不適

よって、父35歳、母30歳、姉10歳、弟8歳・・・答え

お礼

いくつも試すようですね。
わかりやすかったです。
ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.9

staratras

No.7です。終わりから3行前の誤記の訂正です。

誤：このとき母:3x=10,…
正：このとき母:3x=30,…

お礼

了解です。
ありがとうございます！

回答No.8

birth11

父の年齢を a 歳
母の年齢を b 歳
姉の年齢を c 歳
弟の年齢を d 歳

とする。条件から連立方程式を立てると、

a + b + c + d = 83…………………………(1)
6 a = 7 b……………………………………(2)
3 c = b………………………………………(3)

a , c , d を b で表すと、

(2)より、a = 7 b / 6 ……………………(4)
(3)より、c = b / 3…………………………(5)
(4)、(5) を(1)に代入すると、
7 b / 6 + b + b / 3 + d = 83
よって、
d = 83 - 5 b / 2…………………(6)

a , c , d は自然数なので、
(4)より、b は 3 の倍数。
(5)より、b は 6 の倍数。
(6)より、b は 2 の倍数。
つまり、b は 6 の倍数である。
よって、k ＞ 0 として b = 6 k と表せる。
このとき、k は自然数である。

(4)より、a = 7・6 k / 6 = 7 k……………(7)
(5)より、c = 6 k / 3 = 2 k…………………(8)
(6)より、d = 83 - 5 ・6 k / 2 = 83 - 15 k……(9)

d は自然数なので、(9)より
83 - 15 k > 0
つまり、k < 83 / 15
k は自然数だから、1 < = k < = 5

b = 6 k と(7)、(8)、(9)より
a > d を考慮して、

k = 1 のとき a < d で不適。
k = 2 のとき a < d で不適。
k = 3 のとき a < d で不適。
k = 4 のとき ( a , b , c , d ) = ( 28 , 24 , 8 ,23.)
姉、弟の関係から c > d でなければならず、不適。
k = 5 のとき ( a , b , c , d ) = ( 35 , 30 , 10 , 8 )
このとき、条件を満たす。
ゆえに、父が 35歳、母が 30歳、姉が 10歳、弟が 8歳。………(答)

お礼

大変複雑ですね。
しかし、そういう問題なのですね…。
ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.7

staratras

姉の年齢をx歳とすると、

母親は3x歳、父親は(7/6)3x=(7/2)x歳、なのでxは偶数。

弟の年齢は　83-x-3x-(7/2)x=83-(15/2)x

弟の年齢は０歳以上で姉の年齢以下だから、
(一般には未満だが、双子や年子の可能性も考えると同い年の可能性も…)

0≦83-(15/2)x≦x　　
これをとくと
166/17≦x≦166/15
9.7…≦x≦11.06…
xは偶数だから　x=10　

このとき母:3x=10,父:(7/2)x=35,弟:83-(15/2)x=8
父35歳、母30歳、姉10歳、弟８歳
これは問題のすべての条件を満たす。

お礼

答えを絞れないけれども、自分で条件を設定するのですね…。
了解です！
ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.5

uyama33

父、35
母、30
姉、10
弟、8

です。エクセルで計算しました。条件に合うのはこの組合せだけでした。

お礼

エクセルを使えば楽ですね！
ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.4

noname#160576

1. ４人の年齢の合計が８３歳です。
2. 父の６倍＝母の７倍です。
3. 姉の年齢の３倍＝母の年齢です。

父、母、姉、弟の年齢を
f, m, s, bと置く。

1,2より2f=7sだから、sは何らかの偶数s=2k。
よって3より
f+m+s+b
=7k+6k+2k+b
=15k+b=83。
もしb≧15だとするとs=2k>bより
k≧8でないといけない。
この場合、
15k+b>83となってしまう。
よってb<15である。
つまり、
k,bは83を15で割った商と余り。
計算すると
k=5, b=10。
よって
s=10, m=30, f=35。

お礼

相当難しいですね。
しかし、こういう方法しかないようですね…。
ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.3

somethinghot

・父の6倍＝母の7倍

これを処理できるかがポイントだと思います。
父をａ才、母をｂ才だとすると、
６ａ＝７ｂとなるのですから、
両辺を６でわって、
ａ=7/6ｂとなります。
つまり「父は母の7/6倍の年齢」となるわけです。

このことを踏まえて連立方程式を組み立ててみましょう。
姉の年齢をＸ、弟の年齢をＹとすると
母=３x
父=３x×7/6=7/2x
となり、
(1)7/2x＋3x＋x＋ｙ＝83
また、姉弟の関係から
(2)x＞ｙ
この２つの式をごりごり解いてゆけば答えにたどり着けるはずです。

ただ、無理やり連立させた感じがありますね。
私なら、比を使って解いてしまいます。
年齢の比は　父：母：姉＝7：6：2　となりますよね。
年齢なので、これを整数倍したものが答えとなるはずです。
色々試して、弟の年齢と整合性が取れるか試してみましょう。
まずは2倍
父：母：姉＝14：12：4　だとするとその和は28なので、弟は83－28＝45才となります。
どう考えてもおっさん過ぎですｗ

3倍だと
父：母：姉＝21：18：6で、弟は37才
4倍だと
父：母：姉＝28：24：8で、弟は23才
５倍だと
父：母：姉＝35：30：10で、弟は8才
6倍だと
父：母：姉＝42：36：12で、弟は-7才

ということで、答えとして妥当なのは
父が35才、母が30才、姉が10才、弟は8才となります。

高校入試ですかね？最近、こういう問題をちらほら見かけるようになった気がします。
個人的には文字を使わないほうが解きやすいと思います。

お礼

学校の定期試験でした。
普通の連立ではないとしって、びっくりです…。
ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.2

tsline

まず　父＞母
6父＝7母であるならば、6×7＝42、42歳が父である可能性が・・・・、42を分解すると2×3×7、じゃあ2×3×6が母じゃないか？　父42、母36、姉12、弟がマイナス7歳・・・・だめだぁ

さっき分解したのを使って・・
３×7を父にしたら21歳、母18歳、姉6歳、弟38歳（笑）　　これもダメ

こうなったら
2×7を父にして14歳、母12歳、姉4歳、弟53歳（泣）

だれか教えて～～～～

お礼

がんばりましょう！
ありがとうございました！

回答No.1

Knotopolog

・４人の年齢の合計が８３歳です。
・父の６倍＝母の７倍です。
・姉の年齢の３倍＝母の年齢です。

の他に，もう１つ条件がないと，連立方程式として解けません．

お礼

今回は、他の方のように解くのが正解だったようです。
ありがとうございました！