解き方

質問

漸化式の問題で
a1=2,a(n＋1)=2an＋4＾(n＋1) (n=1,2,…）

両辺を2＾(n＋1)で割るとbn=an/2＾n

a(n＋1)/2＾(n＋１）をb(n＋1)とおいて、
b(n＋1)=bn＋2＾(n＋１）

このあとどのようにとくか分かりません。
お願いします。
それから、わたしは2＾(n＋1で割ったのですがほかの数字ですか？
よくわからないのでお願いします。

回答No.2

eatern27

＞4^(n+1)で割ったのですが複雑な式になってしまいました。
＞解き方がぜんぜんわかりません。
＞できれば教えてほしいのですが駄目でしょうか？
そんなに複雑になりますかね？

a[n＋1]=2a[n]＋4＾(n＋1)の両辺を 4^(n+1)で割ると
a[n+1]/4^(n+1)＝(a[n]/4^n)/2+1

c[n]=a[n]/4^nとおくと、
c[n+1]=c[n]/2+1

c[n+1]-2＝(1/2)(c[n]-2)＝(1/2)^n(c[1]-2)

ここで、c[1]＝a[1]/4^1＝1/2だから、
c[n+1]-2＝(1/2)^n*(-3/2)=-3(1/2)^(n+1)
c[n+1]＝2-3(1/2)^(n+1)
∴c[n]＝2-3(1/2)^n+2
a[n]/4^n＝2-3(1/2)^nより、両辺に4^nをかけて
a[n]＝2*4^n-3*2^n＝2^(2n+1)-3*2^n

となります。複雑でしたか？

回答No.1

eatern27

boku115さんのように2^(n+1)で割っても解けますね。

b(n+1)-b(n)=2^(n+1)
ですから、階差数列ですね。(この後はご自分で)

もしくは、4^(n+1)で割ってc(n)=a(n)/4^nとおくと
c(n+1)=c(n)/2+1
となるので、c(n)が簡単に求まるので、a(n)も求まります。

補足

4^(n+1)で割ったのですが複雑な式になってしまいました。
解き方がぜんぜんわかりません。
できれば教えてほしいのですが駄目でしょうか？