数列｛an｝,｛bn｝は次のように定められている

質問

数列｛an｝,｛bn｝は次のように定められている
1 ,a（1）＝0,b（1）＝1
2 nが偶数のとき、an＝1/2（a（n-1）＋b（n-1））,bn＝b（n-1）
3 nが奇数のとき、（ただし、n≧3） an＝a（n-1）,bn＝1/2（a（n-1）＋b（n-1））

（１）an-bnをnの式で表せ
（２）anをnの式で表せ。

どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)
n：偶数のとき
　　a(n)-b(n)={a(n-1)+b(n-1)}/2-b(n-1) ={a(n-1)-b(n-1)}/2
n：奇数のとき
　　a(n)-b(n)=a(n-1)-{a(n-1)+b(n-1)}/2 ={a(n-1)-b(n-1)}/2

　a(n)-b(n)はnが偶数でも奇数でも同じ式になるので、
　　a(n)-b(n) ={a(n-1)-b(n-1)}/2　・・・・（A)

(2)
　式（A)の{a(n)-b(n)}についての漸化式から、　{a(n)-b(n)}の一般項を求めます。
　　a(n)-b(n)=(1/2)^(n-1) {a(1)-b(1)} =-(1/2)^(n-1)
　∴b(n)=a(n)+(1/2)^(n-1)　　・・・・（B)

　ここで、与えられた漸化式に式（B)を代入すると、次の{a(n)}についての漸化式が得られます。
　　n:偶数のとき　a(n)-a(n-1)=(1/2)^(n-1)
　　n:奇数のとき　a(n)-a(n-1)=0

　この２つの漸化式から、{a(n)}の一般校を求めます。
　　n:偶数のとき　a(n)-a(1)=(1/2){1-(1/4)^(n/2)}/(1-1/4)　　←Σ{a(n)-a(n-1)は初項1/2、等比1/4、項数n/2の等比級数なので。
　　　　　　　　∴a(n)=(2/3){1-(1/2)^n}　　・・・・（C)

　　n:奇数のとき　　a(n)-a(1)=(1/2)[1-(1/4)^{(n-1)/2}]/(1-1/4)　　←Σ{a(n)-a(n-1)は初項1/2、等比1/4、項数(n-1)/2の等比級数なので。
　　　　　　　　∴a(n)=(2/3){1-(1/2)^(n-1)}　　・・・・（D)

　従って、答えは式（C)と式（D)をまとめたものになります。
　　a(n)=(2/3){1-(1/2)^n} (n:偶数), (2/3){1-(1/2)^(n-1)} (n:奇数)

回答No.2

noname#113983

あのさ(1)がわからないのは問題だよ。
nにおいて奇数のとき偶数のときって場合分けしてしかもan,bnもでてるんだからさあ。自分でやれ。
(2)は(1)できたらできる

回答No.1

Tacosan

まずは自分で手を動かして計算すること.
どうしてもわからないところがあれば「自分でどこまでやったのか」「どこが分からないのか」を明確にして質問するのはよい.