置換積分

質問

高校数学です。(B)ではt=xとしていますが、(A)ではt=xと仮定しています。
この(A)と(B)が矛盾すると考えたのですが、どこが間違っていますか。
ご教授下さい。よろしくお願い致します。

引用「Focus Gold　啓林館　p.326」

私は、高校(偏差値72程度)を文系コースで卒業し、そのためIAIIBまで履修していません。しかし、国立医学部(偏差値68程度)を受験したいと志望し、独学しています。したがって、高校生向けの説明をおねがいします。

回答No.2

info22_

>(B)ではt=xとしていますが、(A)ではt=xと仮定しています。
>この(A)と(B)が矛盾すると考えたのですが、どこが間違っていますか。

矛盾しません。
定積分の中の積分変数の文字記号は何でも良いこと。定積分では積分変数を別の任意の文字記号の変数名に変更してもよい。　←(B)で適用「x→t」

定積分において置換積分により任意の別の積分変数に置換できる。←(A)で適用「t=π－ｘ」

で、(A)と(B)のtは別物（文字記号はtで同じでも互に関係がない）です。
定積分で成り立つことです。

不定積分だと質問者さんの言うとおり、変数名（積分変数）を自由に変更はできません。置換による関係は変換後も維持されるからです。同じ文字x,tに対して、異なる別の変数変換（置換積分による積分変数の変更）はできません。

なので不定積分では質問者さんの言うように矛盾になりますが、今回の積分は定積分ですので、矛盾には当たりません。

お礼

「(A)と(B)のtは別物（文字記号はtで同じでも互に関係がない）です。定積分で成り立つことです。」←この知識がありませんでした。理解できました。ありがとうございました。

回答No.1

shitumon631

ちょっと右の脚注を見落としているだけのようです。
sin t = sin (πーx) = sin x （三角関数の加法定理）

こんなものは即時に反応できないとだめです。
加法定理、復習したほうがいいかもしれません。

お礼

質問ミスで、わかりにくい質問になったにも関わらず、丁寧に回答いただきありがとうございました。

補足

すみません。質問欄に誤りがありました。下記のように訂正します。

(B)ではt=xとしていますが、(A)ではt=π-x、と仮定しています。
この(A)と(B)が矛盾すると考えたのですが、どこが間違っていますか。