可積分ということは端のほうではほぼ０？

質問

「
　　∫_R |f(x)| dx < ∞のとき（可積分のとき）
　　lim_{B->∞} ∫_{|x|>B} |f(x)| dx -> 0
　　が成り立つ
」
の証明がわかりません。

否定をして、適当なε>0が存在して、任意のδ>0に対して、
適当なB>δが存在して、∫_{|x|>B} ≧ εが成り立つ
と仮定して矛盾を導こうと考えていたのですが、
うまくいきません。
δのとり方をうまくしたらできると思うのですが、
教えて頂けないでしょうか？

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

数列の収束と同じと思えばいいのではないでしょうか。
a_nがαに収束するときlim(a_n-α)=0となります。
α＝∫_R |f(x)| dx < ∞、a_n=∫_{x＜n}|f(x)|dxとおくと、可積分であることより、a_nはαに収束する。α-a_n=∫_{x>n}f(x)dx->0(n-> ∞)
が従う。