広義重積分と行列の数列

質問

2問お聞きしたいのですが
1問目は
ε>0としD={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1}
lim(ε→0)∬_D{(x^2-y^2)/(x^4+y^4)}dxdyを求めよ
という問題で，極座標へ変数変換したまではいいんですが，
(cos^2θ-sin^2θ)/(cos^4θ+sin^4θ)の積分が出来なくて…。

2問目は(Aの右に付けてる数字とnは数列の番号です)
A0=((1 0)^t (1 1)^t) (Aは行列，^tは転置)　
A1=((a c)^t (b d)^t) (a,b,c,d∈R | 0<c<1 | ad-bc=1)
An=((an cn)^t (bn dn)^t)
A(n+1)=(An)(A0)(An^-1)
M=1/(1-|c|)とし，|a|<Mと仮定する。
(1)andn-bncn=1が成り立つことを示せ。
(2)cnを求めよ。
(3)|an|<Mを証明せよ。　

(1),(2)はできたんですが，(3)がどう手を付けて良いのかわかりません。
どなたか解説お願いします。

回答No.1

incd · ベストアンサー

1問目. 計算ミスはご容赦ください。
分子は、倍角の公式よりcos^2θ-sin^2θ= cos(2θ)
分母は、
1 = (cos^2θ+sin^2θ)^2 = cos^4θ+sin^4θ + 2cos^2θsin^2θ
から、
cos^4θ+sin^4θ = 1 - 2cos^2θsin^2θ
さらに倍角の公式よりsin(2θ)=2cosθsinθだから
= 1 - sin^2(2θ)/2
∫cos(2θ)/[2 - sin^2(2θ)]dθ/2
t = sin(2θ)とおく置換積分によって、
∫1/(2-t^2)dt
後は部分分数分解を施せば
√2/4∫[ 1/(√2 - t) + 1/(√2 + t)]dt
となりlogの形に積分可能。

お礼

cos^4θ+sin^4θ = 1 - 2cos^2θsin^2θ
この変換をすればすぐに解けたんですね^^;
ありがとうございます^^
無事に2問とも解決しました!!

回答No.2

incd

問2．

(1),(2)の段階で
c_n = (-1)^(n-1)c^n
及び
a_nについての漸化式
a_{n+1} = 1 - a_n c_n = 1 - a_n (-1)^(n-1)c^n
を得ていると思いますが、どうでしょうか（僕が計算を間違えている可能性もあります）。

数学的帰納法で証明できます。まず、n=1については a_1=aなので、
仮定より|a|<Mは満たされています。

次に、|a_n|<Mを仮定して|a_{n+1}|<Mを導きます。
a_{n+1} = a_n (-1)^(n-1)c^n
三角不等式（|x+y|≦|x| + |y|）より
≦ 1 + |a_n (-1)^(n-1)c^n|
さらに、|xy| = |x||y|なので
= 1 + |a_n| |(-1)^(n-1)| |c^n|
= 1 + |a_n| |c^n|
0<c<1だから、c^n ≦ cだから
≦ 1 + |a_n| c
（*cは正なので|c|でもcでもよい）
ここで、仮定|a_n|<Mより
＜ 1 + M c
＝ 1 + c/(1-c)
= (1-c+c)/(1-c)
= 1/(1-c)
= M
よって
a_{n+1} < M.

お礼

a_nの項内のad-bc=1とするのを忘れてました…。
解けました!!詳しい説明ありがとうございます^^