数学 教えて下さい

質問

高２高次方程式です。
（１）多項式x^3+ ax^2+ bx-aをx^2+x +1で割ったときの余りが-x +3である時,定数 a b
の値を求めなさい
(2)4次方程式x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0の1つの解が1+iであるとき、実数a.bの値を求めなさい。また他の解を求めなさい
お願いします！

回答No.4

178-tall

末尾の訂正？

よって、商は x^2 + 6x + 4、その「零点ペア」は
　x = -3±√(3^2-4) = -3±√(5)

回答No.3

178-tall

>（１）多項式x^3+ ax^2+ bx-aをx^2+x +1で割ったときの余りが-x +3である時,定数 a b　の値を求めなさい

まずは、割り算。

　　　　　　x + (a-1)
----------------
x^3 + ax^2 + bx - a　 (　 x^2 + x + 1
x^3 + x^2 +　x
------------------------
　 (a-1)x^2 + (b-1)x - a
　 (a-1)x^2 + (a-1)x + (a-1)
　　------------------------
　　　　　　 (b-a)x - (2a-1)

この余りが -x+3 だというから、
　 b-a = -1
　-(2a-1) = 3
下式から、-2a = 2 つまり a = -1。
これを上式へ入れると、b = a-1 = -2。

>(2)4次方程式x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0の1つの解が1+iであるとき、実数a.bの値を求めなさい。また他の解を求めなさい

a, b は実数だというから、1+i の共役値 1-i もその方程式の解。
したがって「4 次方程式」は、
>　{ x-(1+i) )*{ x-(1-i) } = x^2 - 2x + 2
で割り切れるはず。
前問答案の割り算をしてみると？
　商が x^2 + (a+4)x + 4
　余りが (b+2a+1)x + (a^3-8)

「余り」が零だろうから、
　a = 2
　b = 2a-1 = 3

よって、商は x^2 + 6x + 4、その「零点ペア」は
　x = -3±i√(3^2-4) = -3±i√(5)

回答No.2

f272

(1)
x^3+ ax^2+ bx-a=(x^2+x +1)(1次式)-x+3
と書けることになる。
上式両辺のx^3の係数を比較して，(1次式)の1次の項はx
上式両辺のx^2の係数を比較して，(1次式)の定数項はa-1
であることが分かり，
上式両辺のxの係数を比較して，b=a-1+1-1...(A)
上式両辺の定数項を比較して，-a=a-1+3...(B)
したがって式(B)からa=-1，それを式(A)に代入してb=-2

(2)
1つの解が1+iであることから
x=1+iより
x-1=i
(x-1)^2=x^2-2x+1=-1
x^2-2x+2=0
となるので
x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=(x^2-2x+2)(2次式)
と書けることになる。
上式両辺のx^4の係数を比較して，(2次式)の2次の項はx^2
上式両辺のx^3の係数を比較して，(2次式)の1次の項はa+4
上式両辺のx^2の係数を比較して，(2次式)の定数項は4
であることが分かる。したがって
上式両辺のxの係数を比較して，b+1=2(a+4)-8...(C)
上式両辺の定数項を比較して，a^3=8...(D)
であるから式(D)からa=2，それを式(C)に代入してb=3
これで2次式はx^2+6x+4と確定できた。
x^2+6x+4=0からx=-3±√5も元の4次方程式の解であるし，また1つの解が1+iであるのでその共役複素数であるx=1-iも元の4次方程式の解である。

回答No.1

muturajcp

(1)
x^3+ax^2+bx-a
を
x^2+x+1
で割ると
----------------
x+a-1
x^2+x+1)x^3+ax^2+bx-a
x^3+ x^2+ x
(a-1)x^2+(b-1)x-a
(a-1)x^2+(a-1)x+a-1
(b-a)x+1-2a
---------------------
x^3+ax^2+bx-a=(x^2+x+1)(x+a-1)+(b-a)x+1-2a
だから余りは
(b-a)x+1-2a=-x+3
だから
b-a=-1…(1)
1-2a=3
↓両辺に2a-3を加えると
-2=2a
↓両辺を2で割ると
-1=a
↓これを(1)に代入すると
b+1=-1
↓両辺から1を引くと
b=-2
∴
a=-1
b=-2

(2)
x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0…(2.1)
の1つの解が1+iであるとき
[{(x+a+2)x-(2a+2)}x+b+1]x+a^3=0
[{(1+i+a+2)(1+i)-(2a+2)}(1+i)+b+1](1+i)+a^3=0
[{(3+a+i)(1+i)-2a-2}(1+i)+b+1](1+i)+a^3=0
[{-a+(4+a)i}(1+i)+b+1](1+i)+a^3=0
(b-2a-3+4i)(1+i)+a^3=0
b-2a-7+a^3+(1+b-2a)i=0
b-2a-7+a^3=0…(2.2)
1+b-2a=0
↓両辺に2a-1を加えると
b=2a-1…(2.3)
↓これを(2.2)に代入すると
2a-1-2a-7+a^3=0
-8+a^3=0
↓両辺に8を加えると
a^3=8
↓両辺を1/3乗すると
a=2…(2.4)
↓これを(2.3)に代入すると
b=3…(2.5)
↓これと(2.4)を(2.1)に代入すると
x^4+4x^3-6x^2+4x+8=0
の1つの解が1+iだからその共役複素数1-iも解になるから
(x-1-i)(x-1+i)=(x-1)^2+1=x^2-2x+2
が因数になるから
x^4+4x^3-6x^2+4x+8をx^2-2x+2で割ると
---------------------------
x^2+6x+4
x^2-2x+2)x^4+4x^3-6x^2+4x+8
x^4-2x^3+2x^2
6x^3-8x^2+4x
6x^3-12x^2+12x
4x^2-8x+8
4x^2-8x+8
0
---------------------------------
x^4+4x^3-6x^2+4x+8=0
(x^2-2x+2)(x^2+6x+4)=0
(x-1-i)(x-1+i){(x+3)^2-5}=0
(x-1-i)(x-1+i)(x+3-i√5)(x+3+i√5)=0
x=1+i
∴
a=2
b=3
他の解は
x=1-i
x=-3+i√5
x=-3-i√5