方程式

質問

整数a,bを係数とする２次方程式(x＾2)＋ax＋ｂが有理数の解αをもつとき、αは整数であることを示すのがわかりません

α=n/mとおくと
n,mは素

(n/m)＾2a(n/m)＋b=0
（n＾2)＋amn＋b(m＾2)=0
まで考えたのですがこのあとがわかりません
お願いします

回答No.9

rinri503

ＮＯ５ですが、問題の意味了解しましたので解答します。これは、結構難しいですよ
　解　α＝ｎ／ｍ　（ｎ，ｍは互いに素）の有理数とすると
　与式に代入して
　　（ｎ／ｍ）＾２＋ａ（ｎ／ｍ）＋ｂ＝０
　ｍ＾２を掛けて整頓すると
　　ｎ＾２＋ａｍｎ＋ｂｍ＾２＝０
　　ｎ＾２＝－ｍ（ａｎ＋ｂｍ）　となる
ａｎ＋ｂｍは整数だから
　　ｎ＾２＝ｍｔ　とおく（ｔは整数）・・・（１）
　　　ｍ＝ｎ＾２／ｔ
　　ｍは、整数だから　ｎはｔを因子としてもつ
　　　ｎ＝ｔｋ（ｋは整数）・・・・・・・・（２）
　すると　ｍ＝（ｔｋ）＾２／ｔ＝ｔｋ＾２・・（３）
　（２）（３）より　ｍ，ｎは、ｔという約数をもつこと　になり　互いに素であるという仮定に反する
　よって　αは、有理数でない。言い換えれば分数でなく　　、　ｎ＾２が、ｍの倍数であるから　ｍ＝±１しか、と　りえ　ない。以上より　α＝±ｎの整数解のみもつ

回答No.8

noname#16133

補足します。整数を素因数分解したとき必ず一通りに分解できます。もしmが因数として素数pをもつとき必ず

-（n＾2)も因数として素数pをもちます。よってn,mが互いに素である事に反するので証明ができます。

回答No.7

age_momo

基本的に#2さんや#3さんと同じなんですが、書き方を変えてみます。

αが整数ではない有理数と仮定すると
α=n/m　と表せる互いに素な整数n,mが存在なければなりません。n,mが互いに素ならn^2とmも互いに素な整数です。

(n/m)＾2+a(n/m)＋b=0
n^2/m=-an-bm
左辺は互いに素であるため整数にはなりません。一方、右辺は整数となり、矛盾します。よって、仮定は否定されαは整数となります。

補足

<αが整数ではない有理数と仮定するとがよくわかりません

整数は有理数なのに
なぜ整数ではない有理数となるのですか？？

回答No.6

noname#16133

No.５の整式の解をもう一度よくよく考えてみてください。
判別式の値が13なので式の解は有理数ではないです。

回答No.5

rinri503

問題が不正確です。たとえば
　　ｘ＾２＋５ｘ＋３＝０　の場合　係数は整数
　　解も有理数ですが、整数とはかぎりません
　　なにか、省略しているか、自分で考えた問題ですか
　問題は、正確に、そのまま、記載しないとマズイのでは

回答No.4

noname#16133

ちなみに・・・・No.１の解答なんですがルートの中がゼロでなくてもルートは外れるので解答としては特殊な場合(判別式が０になるabの組み合わせの時のみ)成り立つ事を示しただけです。

回答No.3

noname#16133

α=n/m(n,mは互いに素とする)とおくと

(n/m)＾2a(n/m)＋b=0
（n＾2)＋amn＋b(m＾2)=0

ここから先は

-(n^2)=amn+b(m^2)
-(n^2)=m〔an+bm〕・・・(1)

mが１でないとき、ある素数Pがmの因数でなければならない
すると(1)によってPはnの因数でもなければならない。
これはm、nが互いに素である事に矛盾するので
mは１となりαは整数である事が判明する。

Q,E,D

補足

＞mが１でないとき、ある素数Pがmの因数でなければならない

の部分がよくわかりません

回答No.2

yoikagari

|m|≧2と仮定する。
mは必ず素因数を持ちます。
mの素因数pをとると
n^2+amn+bm^2=0
m=pkとおくと
n^2=-amn-m^2=p(-akn-km)
よって、n^2がpで割り切れます。
pは素数だから、nもpで割り切れます。
よってnとmが公約数pを持つことになり、mとnが互いに素であることに反します。

よって|m|=1です
したがってα=±nとなって、αは整数になります。

回答No.1

omoidasu

解の公式を使えばよいと思います。

解が有理数であるためには、ルート内が０

つまり、a^2-4b=0 でa,bは整数だからaは２の倍数となり、このときの解αは-a/2であるから、αは整数である。

というような流れでいけるのでは。