(n+2)!-n!を11^6で割り切れるｎの最小値

質問

(n+2)!-n!を11^6で割り切れるｎの最小値を求めよ。

回答No.5

178-tall · ベストアンサー

>どうして速やかにｎ=35という答えを導き出す野がちょっとわからない。　33以上の自然数が多いですね

　(n+2)! - n! = (n^2 + 3n + 1)*(n!)

・左辺の第 1 因数 (n^2 + 3n + 1) が 11 の倍数になる n の分布
　n^2 + 3n + 1 = 11 の解は？
　n^2 + 3n - 10 = (n+5)(n-2) のゼロ点、つまり n = 2, -5 。
　各ゼロ点を 11 ずつ増やしていけば、やはり (n^2 + 3n + 1) が 11 の倍数になる。

　問題点は、11 の累乗の検出。簡便な方法が見つけられず、一々チェック。
　何かうまい手、ありませんか？

・左辺の第 2 因数 (n!) に含まれる素因数 11 の個数は、整数部分 (n/11)
　たとえば、n = 65 なら 整数部分 (65/11) = 5 。

-----------------------
66 未満の n 虱つぶし
　55 ≦ n で n^2 + 3n + 1 = 11 の倍数になる最小のもの　= 57　/ 11^1
　44 ≦ n で n^2 + 3n + 1 = 11 の倍数になる最小のもの　= 46　/ 11^1
　33 ≦ n で n^2 + 3n + 1 = 11 の倍数になる最小のもの　= 35　/ 11^3　　Bingo !

回答No.6

178-tall

前稿。

「左辺」は間違え、「右辺」のことでした。

回答No.4

178-tall

掻き込み飯は消化不良の原因、です。
全面修正。

>まず、題意を満たす最小値 n_min は、
>　n_min ≦ 66
>しかるに、66 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 12 個 もある。
>それ以下では？ (虱つぶし)
>　　 55 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 10 個 / 11 の倍数であるn は 5 個
>　　 44 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 8 個 / 11 の倍数であるn は 4 個
>　　 33 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 6 個 / 11 の倍数であるn は 3 個
>　！ 22 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 4 個 / 11 の倍数であるn は 2 個
>　　 11 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 2 個 / 11 の倍数であるn は 1 個

　　　　↑　キャンセル

以下、66 未満の n 虱つぶし
　55 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの　= 57　/ 11^1
　44 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの　= 46　/ 11^1
　33 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの　= 35　/ 11^3　　Bingo !
　55 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの　= 57　/ 11^1
　55 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの　= 57　/ 11^1

お礼

ありがとうございます。
えっと、どうして速やかにｎ=35という答えを導き出す野がちょっとわからない。
33以上の自然数が多いですね

回答No.3

Tacosan

じっと考えると n<33 は不適であることが分かりますね＞#2.

ところで, 質問の文章がおかしいってのは突っ込んでいいんだろうか....

お礼

ありがとうございます。

そのあとの計算はちょっとわからない。

回答No.2

178-tall

>(n+2)!-n!を11^6で割り切れるｎの最小値を求めよ。

とりあえず、虱つぶしでも…。

　・11 は素数
　・(n+2)! - n! = (n^2 + 3n + 1)*(n!)
… らしい。

まず、題意を満たす最小値 n_min は、
　n_min ≦ 66
しかるに、66 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 12 個 もある。

それ以下では？ (虱つぶし)
　　 55 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 10 個 / 11 の倍数であるn は 5 個
　　 44 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 8 個 / 11 の倍数であるn は 4 個
　　 33 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 6 個 / 11 の倍数であるn は 3 個
　！ 22 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 4 個 / 11 の倍数であるn は 2 個
　　 11 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 2 個 / 11 の倍数であるn は 1 個

ここで、My lunch hour is up.

回答No.1

SakuraiMisato

どの段階迄の解釈が進んでいるのかを追記で説明して下さい。