虚数解の3次方程式

質問

次の問題の答えが分かりません。

f(x)=x^3+2x^2+2x+1
g(x)=x^3+x+2x+2
で、f(x)=0の二つの虚数解をα,βとする。
このとき、積g(α^2012)g(β^2012）を求めよ。

ご回答よろしくお願いいたします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

いずれにしても、次数を下げなければならない。

f(x)=x^3+2x^2+2x+1＝(x+1)*(x＾2＋x＋1)だから　α＾3＝-1、α＾2＋α＋1＝0.
従って、β＾3＝-1、β＾2＋β＋1＝0.
α＾2012＝(α＾3)＾670×α＾2＝α＾2.つまり　β＾2012＝(βα＾3)＾670×β＾2＝β＾2
よって、g(α^2012)＝α＾6＋α＾4＋2α＋2＝α＋3　だから　g(β^2012）＝β＋3
したがって、積g(α^2012)g(β^2012）＝(α＋3)*(β＋3)
これに　解と係数から　α＋β＝-1、αβ＝1を使うだけ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
大変分かりやすい説明ありがとうございます。
すごくすっきりと理解できました。

No.1,No.2さんにも、この場を借りてお礼申し上げます。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

x^3＋2x^2＋2x＋1
＝x^2(x＋1)＋x^2＋2x＋1
＝x^2(x＋1)＋x(x＋1)＋(x＋1)
＝(x^2＋x＋1)(x＋1)
虚数解はx^2＋x＋1＝0の解だから、x＝(－1±i√3)/2＝e^(±2π/3)

あと、g(x)は記載ミスしてないですか？二乗はないの？

補足

すみません。
g(x)=x^3+x^2+2x+2でした。
大変申し訳ありません。

回答No.1

Tacosan

問題, あってますか?

補足

すみません。
g(x)=x^3+x^2+2x+2でした。
大変申し訳ありません。