剛体の運動に関する問題について

質問

剛体の運動に関する問題です。「自然長をL、ばねの伸びをx、回転角をθとしたとき、x,y,θの運動方程式はどのようになるか。」という問題です。どなたか教えてください。

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回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

M(d^2y/dt^2)=Mg+kx-T
M(d^2(x+y)/dt^2)=Mg-kx
I(d^2θ/dt^2)=TR
Tはテープの張力
また、yとθの満たすべき関係式はy=Rθ
で良いでしょうか。

これでよいと思います。

お礼

分かりました。何度も回答していただき、ありがとうございました。

回答No.3

rnakamra

#1,2のものです。
もう一つ忘れていました。

> M(d^2x/dt^2)=Mg-kx

この式も違います。
下の質点の加速度はd^2x/dt^2ではありません。
質点の天井からの距離を求めそれを時間で2回微分しましょう。テープの引き出し量yの寄与を忘れずに。

補足

何度もありがとうございます。
それでは、最終的に運動方程式は
M(d^2y/dt^2)=Mg+kx-T
M(d^2(x+y)/dt^2)=Mg-kx
I(d^2θ/dt^2)=TR
Tはテープの張力
また、yとθの満たすべき関係式はy=Rθ
で良いでしょうか。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

M(d^2y/dt^2)=T-2Mg
M(d^2x/dt^2)=Mg-kx
I(d^2θ/dt^2)=TR
Tはテープの張力
また、yとθの満たすべき関係式はy=Rθ

まず、1番目の式が間違っています。
円板にかかる力をよく考えて見ましょう。下の質点の重さが直接円板にかかることはありません。円板に働いている力は
・テープの張力
・円板にかかる重力
・ばねの張力
三つ目を勘違いすることが多いのですが、重力以外の力は基本的に接触しているものからしか力を受けない、とでも考えておくとよいでしょう。
3番目の式については円板の慣性モーメントがIで与えられる、さらにθの増える向きがyの増える向きと同じある場合はこれでよいでしょう。
もし、円板の構造が厚さ一様、密度一様とでもあればIをMとRを用いて表す必要があります。

お礼

再び回答ありがとうございました。解決しました。

回答No.1

rnakamra

運動方程式はx,y,θに対して立てるものではなく、物体に対して立てるものです。

まずは対象となる物体がどれであるかを挙げます。
この問題には物体が2個、そのうち回転を考えないといけない円板が1個です。
並進運動についての方程式が2個、力のモーメントと回転速さについての式が１個立ちます。

次に2個の物体それぞれにかかる力を全て図に記入していきます。
円板に対しては三つ、ばねにつるされた物体については二つの力が働きます。それぞれの力の大きさを図に示された記号を使い表します。ただし、現時点では大きさのわからない力がありますのでその力には適当な記号を割り当てましょう。
(この段階で変数が増えてしまいます。気にせず進めましょう。)

それぞれの物体の重心の加速度を図にある記号を使い表します。加速度を表現できれば並進運動についての運動方程式が立つでしょう。

円板にかかる力のモーメントの大きさ、ならびに角速度の大きさを今まで出てきた記号で表しましょう。さらに円板の重心周りの慣性モーメントが必要になります。計算しましょう。
これらの式から回転に関する方程式が得られるでしょう。

これで三つの式がたちましたが、途中で変数を増やしてしまったので明らかに式が足りません。
yとθの満たすべき関係式があるはずです。じっくり考えればわかるでしょう。

補足

回答ありがとうございました。運動方程式なのですが、
M(d^2y/dt^2)=T-2Mg
M(d^2x/dt^2)=Mg-kx
I(d^2θ/dt^2)=TR
Tはテープの張力
また、yとθの満たすべき関係式はy=Rθ
でよいのでしょうか。